Correction du Devoir Libre nOll PSI
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Correction du Devoir Libre nOll PSI MATHEMATIQUES 1. Polynômes de Tchebychev 1.a)Tout,éelBvé,-ifiecDs(nB)=Re((cosB+i sinBt) ~ Re(t,C~(cos!),,-ki~(sin:(k) Or ik est réel quand k est pair et imaginairepur sinon, ainsi ~ c -;:..(~1 ~/~ ~/~ cos(ne)=L C;.k (cose;n-2ki2k (sine)2k = L (_l)kC~k (coseyn-2k (1- (coSB)2)k k=O k=O [n/2] le polynôme l' = L (_I)k C;/,; Xn-2k (1 - X2)k convient. k=O Finalement. En effet,c'est un polynômeà coefficientsréelsvérifiant T(cose) =cos(ne)pourtoutréele. Pour tout k, le polynômexn.-2k (1 - X2)k est degrén donc, par somme,T est de degréau . . , [nj21 k 'Jk h. [n/21 k . . plus n. Son coefficIentde degren est ~k=O(-1) Cn (-1)' =2.

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