Cours Mathématiques - Série ES/S : Exponentielles, logarithmes, puissances

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Fiche de révision Mathématiques : Exponentielles, logarithmes, puissances

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• Publié par: Studyrama
• Publié le: 26 février 2014
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• Langue: Français

Extrait

Nº : 32003

Plan de la fiche

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

I - Fonction exponentielle népérienne II - Fonction logarithme népérien III - Courbes représentatives.Dérivabilité de la fonction ln IV - Propriétés conjointes de la fonction exp et de la fonction ln V - Puissance d’exposant réel de a (a > 0) VI - Fonction exponentielle de base a VII - Fonction puissance VIII - Fonction logarithme de base a

I - Fonction exponentielle népérienne

Théorème et définition Il existe une unique fonction f telle que :dérivable sur f’=f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp .

Propriétés immédiates La fonction exp .est strictement positive sur La fonction exp est dérivable suret : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp .est strictement croissante sur

x Le nombre e.Notation e On désigne le réel exp(1) par la lettre e . x On convient de noter e pour exp (x) , pourtout x réel.

II - Fonction logarithme népérien

Série S

Théorème et définition La fonction exp surréalise une bijection de ]0, + ∞[ . Sa bijection réciproque,fonction de ]0, + ∞[ dans ,est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln .

Propriétés immédiates La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[ . ln 1 = 0 ; ln e = 1 . La fonction ln est strictement négative sur ]0, 1[ et strictement positive sur ]1, + ∞[ .

III - Courbes représentatives. Dérivabilité de la fonction ln

Les courbes représentatives des fonctions ln et exp dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la première bissectrice. 1 La fonction ln est dérivable dans ]0, + ∞[ et (ln)’ (x) =pour x > 0 x

IV - Propriétés conjointes de la fonction exp et de la fonction ln

Réciprocité Pour tout réel u et tout réel v strictement positif, exp u = v équivaut à u = ln v

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Nº : 32003

ln( x ) e=x pour tout x]0 ; + ∞] x ln ( e)=x pour tout x

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Méthode : « Equations et exponentielles, Equations simples », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode :et logarithmes népérien, Equations simples« EquationsExponentielles, logarithmes,», fiche exercices n°3 « puissances ».

Propriété fondamentale Pour tous réels a et b tous réels strictement positifs, pour c et d : exp(a + b) = exp(a) × exp(b) • ln(cd) = ln c + ln d Une exponentielle transforme une somme en produit. Un logarithme transforme un produit en somme.

Conséquences de la propriété fondamentale Pour tous réels a et b,pour tous réels strictement positifs c et d,pour tout n entier relatif : 1  1  Exp(– b) = et ln =   – ln d exp(b)  d  exp(a)  c  Exp(a – b) = et ln   = ln c – ln d exp(b)  d  n Exp(na) = ( exp ( a )) et ln ( c ) = n ln c n

« OpérationsMéthode :», fiche exercices n°3 «élémentaires et fonction exponentielleExponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Opérations élémentaires et fonction logarithme », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».

Propriétés asymptotiques,croissances comparées x lim e= + ∞ et lim lnx= + ∞ x→ + ∞x→ + ∞ x lim e=0 et lim ln x= − ∞ + x→ − ∞ x→0 x ln x e lim = + ∞ et lim=0 n entier naturel non nul nn x→ + ∞ x→ + ∞ xx Méthode : « Limites et croissances comparées », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».

Taux d’accroissement • Tauxd’accroissement en zéro de la fonction exponentielle népérienne x  e−1  On a : lim   =1 x x→0   Cela signifie que la fonction exponentielle est dérivable en zéro et que le nombre dérivé en ce point vaut 1 . Interprétation géométrique :la tangente à la courbe au point d’abscisse zéro est parallèle à la première bissectrice,c’est-à-dire la droite d’équation y = x .

• Tauxd’accroissement en 1 de la fonction logarithme népérien.  ln(x)  On a : lim =   1 x−1 x→1   Cela signifie que la fonction logarithme népérien est dérivable en 1 et que le nombre dérivé en ce point vaut 1 . Interprétation géométriquement :la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 est parallèle à la première bissectrice, c’est-à-dire la droite d’équation y = x .

Egalités, inégalitéset fonctions exp et ln • Pour tous réels a et b strictement positifs : ln(a) = ln(b)a = b ln(a) = 0a = 1 ln(a) ≤ ln(b)a ≤ b ln(a) > ln(b)a > b

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Nº : 32003

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

• Pour tout réel λ et tout réel x strictement positif : λ ln(x) = λ  x=e

• Pour tous réels a et b : a b e=e a = b a e a = 0= 1 a b e≤e a ≤ b a b e> e a> b

Série S

Méthode : « Equation du second degré et exponentielle », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Equation du second degré et logarithme », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquations et exponentielle », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquations et logarithmes », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquation du second degré et logarithme », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquation du second degré et exponentielle », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».

Fonctions composées par exp et par ln • Exponentielle d’une fonction ′ u u u Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I fonction, la e est elle aussi dérivable sur I et ( e ) =u' e . u La fonction exponentielle est toujours positive donc les fonctions u et e ont le même sens de variation.

Méthode : « Dérivation des fonctions utilisant la fonction exp », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».

• Logarithme népérien d’une fonction ′ u' Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que u(x) > 0 sur I fonction, la ln(u) est elle aussi dérivable sur I et ( ln ( u )) = . u La fonction u étant positive sur I , lesfonctions u et ln(u) ont le même sens de variation.

: « Dérivation des fonctions utilisant la fonction ln », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».Méthode

V - Puissance d’exposant réel de a (a > 0)

b Notation a b bln a Pour tout réel a strictement positif et pour tout réel b , onpose : a=e On lit « a puissance b »

Propriétés algébriques Pour tout a > 0 et pour tout b , c réels : b a b − c a= c a 1 −b a= b a c b×c b a= ( a ) b 1 a= ( a ) avec c ≠ 0 b c c

VI - Fonction exponentielle de base a

Attention ces fonctions sont définies si et seulement si a est un réel positif non nul et différent de 1 .

Définition x x xln(a ) On appelle fonction exponentielle de base a dansfonction de, ladéfinie par : x a avec a=e Toute question relative à une fonction exponentielle de base a se ramène à une question sur la fonction exponentielle népérienne x xln(a ) en utilisant cette définition : a=e .

Méthode :« Equations et fonctions exponentielles de base a », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».

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• Si a > 1 . Alors ln(a) > 0 fonction exponentielle de base; la a est strictement croissante. x De pluslim ( a ) = + ∞et lim ( a ) =0 . x x x → − ∞ → + ∞ Allure de la courbe :

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Série S

x ( ln(a) ) a qui a le même signe que ln(a).

Nº : 32003

MATHEMATIQUES

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• Si 0 < a < 1 . Alors ln(a) < 0 ; lafonction exponentielle de base a est strictement décroissante. x x De plus lim ( a ) =0 et lim ( a ) = + ∞ x→ + ∞x→ − ∞ Allure de la courbe :

Sens de variations La fonction exponentielle de base a est dérivable sur. La dérivée de la fonction exponentielle de base a est la fonction x

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Fiche Cours

Nº : 32003

VII - Fonction puissance

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Fonction puissance α , α ≠ 0 α α αln( x ) On appelle fonction puissance α , lafonction de [0 ; + ∞[ dans ; x x avec x=e ; Fonction racine n-ième 1 n Pour tout entier naturel n non nul on appelle fonction racine n-ième la fonction de [0 ; + ∞[ dans : x x . 1 n n On note également : x=x . Fonction exponentielle de base a et fonction puissance 3 3ln( 2) La fonction exponentielle de base a généralise la notion d’exposant aux nombres réels. 2=e . Ne pas confondre fonction exponentielle de base a et fonction puissance. 2 f x : x est une fonction puissance. x g : x 2 est une fonction exponentielle. Cesdeux fonctions ne se manipulent pas de la même manière.Par exemple pour la dérivation : f’(x) = 2 x ; ′ •en revanche,pour la fonction g la formule :, il faut appliquer ( e ) =u' e u u x xln( 2) g(x) =2=e x ln( 2)x g’(x) = ( ln(2) ) e= ( ln(2) ) 2

VIII - Fonction logarithme de base a

Attention, ces fonctions sont définies si et seulement si a est un réel positif non nul et différent de 1 .

Définition ln(x) : ave = On appelle fonction logarithme de base a , lafonction de ]0 ; + ∞[ dans x log a (x) c log a (x) ln(a) Toute question relative à une fonction logarithme de base a se ramènera à une question sur le logarithme népérien en utilisant ln(x) cette définition : log (x) = a ln(a) Fonction logarithme décimal ln(x) = C’est la fonction logarithme de base a =10 , elle est définie sur les réels positifs non nuls, notée log , avec: log(x) ln(10) Allure de la courbe :

0,5

0 -0,5

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