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Devoir Libre n011 PSI MATHEMATIQUES (àrendrele28janvier2011) UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations: OnnoteEl' espacevectorieldesapplicationscontinuesde[-1,1]dans~. On désignepar En l'espacevectorieldesfonctionspolynomialesde [-1,1]dans~ dedegré inférieurouégalànoùnestunentiernaturel. Onpourraconfondrel sexpressions:polynômetfonctionpolynomiale. Si 1estunélémentdeE, onpose11/1100= sup lJ(x)l. XE[-1,1] LespartiesII., III. sontindépendantesetutilisentlesrésultatsdelapartie1. I. PolvnômesdeTchebvchev Danstoutecettepartie,ndésigneunentiernaturel. 1. Existencetunicité a)DéterminerunpolynômeT àcoefficientsréelsdedegrénvérifiantlapropriété(*): (*): VeE~, T(cose)=cos(ne). (onpourraremarquerquecos(ne)estlapartieréellede(cose+isiner), b)Montrerqu'unpolynômevérifiant(*)estunique. On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice n, on le note Tn . Ondéfinitalorsunefonctionpolynomialesur[-1,1]par: VxE[-l, 1], Tn(x)=cos(narcosx). 2. a)MontrerqueVXE[-l,l], T,1+2(x)=2xTn+1(x)-Tn(x) (onpourracalculerT.'+2(x) +T.,(x) ), b) CalculerTa,7;,1;,1;. c) Donnerlecoefficientdutermedeplushautdegréde Tn . 3. Racinesetextrema a) MontrerqueVXE [-1,1], T.

  • onditqu'unélémentp de en' estunpolynômedemeilleureapproximation

  • telque iif - pt

  • dessinerle graphed'

  • réelsco'ci'

  • existenced'unpma d'ordren pourf


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