PC DEVOIR MAISON N° Lundi février Lundi février Oscillateurs de relaxation CCP PC

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PC 2010-2011 DEVOIR MAISON N° 13 Lundi 14 février ! Lundi 21 février - Oscillateurs de relaxation (CCP PC 2010)

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• Publié par: pefav
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Extrait

PCSI B

Math´ematiques

D e v o i rM a i s o n1 3

Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010

Inverses`adroiteetsurjectivite´.

` A rendre pour le mercredi 31 mars. Vousdevezapporterleplusgrandsoin`alare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavance´s.Lesre´sultats doiventeˆtreencadre´s.

SoientEunK−espace vectoriel etfun endomorphisme deE.On dit quefnunievsr`edaortieadmets’il existeg,endomorphisme deE, tel que f◦g= Id E . Dans ce cas, on dit quefestteoielbirda`nisrevet on dit quegestitesr`edaornunievdef. Onseproposedecaracte´riserlesendomorphismesf´teetpuuidsrooniuseel`qadniveeqrutineduensaso´sp exemplesdetelsendomorphismespourdiffe´rentsespacesvectoriels. On rappelle que sifsi´eeugnndneoromsihpedemdE,alors

0 avec la convention quef= Id E .

i f=f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f | {z } i fois

PartieI-Caract ´ erisationd’unendomorphismeinversiblea ` droite

fse´dengihirpedsmenunmodouK−espace vectorielE. 1. Onsuppose quefioeta`rd.stineiblevers (a) Montrerquefest alors surjectif. (b) MontrerqueE= ker(f)⊕Im(g). ˜ (c)End´eduirequef ,la restriction def(Im`ag),est un isomorphisme de Im(g) surE.Quelle est la ˜ re´ciproquedef? 2. Onsuppose quefest surjectif et que ker(fpl´eme)natdmetunsupiaerFdansE. ˜ (a) Montrerquefla restriction defa`Fest un isomorphisme deFdansE. (b)End´eduirequefnitumeadetiorda`esrevngque l’on explicitera. 1 3. Conclurequefinesttseevnibisra`eloidrsiteseetemulfest surjective et ker(f´lppusnuriatnemeedmet)a dansE. i i 4. Montrerque sifetioesrerda`tumenvniadg,alorsfadmetgdaorti.enievsr`epour 5. Soientf 1 etf 2 des endomorphismes deE.Montrer que sif 1 etf 2 rsselbrda`etioola,reisitvnsnof 1 ◦f 2 estinversiblea`droite.

´ Partie2-Etuded’ope ´ rateursdiffe ´ rentiels

∞ IciEeneligesd´R−espace vectorielC(R,R). 1 Onpeutenfaitmontrerquetouts.e.v.admetunsuppl´ementaire.Nouslemontreronsdanslecasparticulierou`Eest de dimension finie.

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