Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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2007

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Myriam Fradon - Charles Suquet

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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math 314 Année 2007–2008 Corrigé du devoir no 1 Le devoir est constitué de trois exercices. Le premier sert d'introduction au deuxième 1 et le troisième est indépendant des deux premiers. Ex 1. Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est notée FX . On définit la variable aléatoire Y := (X + ln?)+ où ? est un réel strictement positif et (x)+ := max(0, x) désigne la partie positive d'un réel x. 1) Fonction de répartition de Y (exprimée en fonction de celle de X). Soit t ? R, FY (t) = P ((X + ln?)+ ≤ t). Si t < 0 alors FY (t) = 0. Si t ≥ 0, alors FY (t) = P ((X + ln?)+ ≤ t , X + ln? ≤ 0) + P ((X + ln?)+ ≤ t , X + ln? > 0) = P (X ≤ ? ln?) + P (? ln? < X ≤ t? ln?) = P (X ≤ t? ln?) . En conclusion, FY (t) = { 0 si t < 0 FX(t? ln?) si t ≥ 0.

événement de probabilité

zn ≤

particulier zn

variable aléatoire

loi de la variable aléatoire

union croissante d'événements

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01 janvier 2007

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Français

Variable aléatoire

IS Math 314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

o Corrigé du devoir n1

Année 2007–2008

1 Le devoir est constitué de trois exercices. Le premier sert d’introduction au deuxième et le troisième est indépendant des deux premiers. Ex 1.SoitXune variable aléatoire dont la fonction de répartition est notéeFX. On déﬁnit la variable aléatoireY:= (X+ lnα)+oùαest un réel strictement positif et (x)+:= max(0, x)désigne la partie positive d’un réelx. 1)Fonction de répartition deY(exprimée en fonction de celle deX). Soitt∈R,FY(t) =P((X+ lnα)+≤t). Sit <0alorsFY(t) = 0. Sit≥0, alors FY(t) =P((X+ lnα)+≤Xt ,+ lnα≤0) +P((X+ lnα)+≤Xt ,+ lnα >0) =P(X≤ −lnα) +P(−lnα < X≤t−lnα) =P(X≤t−lnα). En conclusion,  0 sit <0 FY(t) = FX(t−lnα) sit≥0. Dans toute la suite, la fonction de répartitionFXest donnée par −t FX(t) = exp(−e )pour toutt∈R.(1) 2)FXest une fonction de répartition. En eﬀet, c’est clairement une fonction croissante surR(comme l’itérée d’ordre 2 −t de la fonction décroissantet7→e), continue surR(donc, continue à droite limitée à gauche) ayant une limite nulle en−∞et égale à1en∞. 3)La loi deXest à densité, de densitéfX. 10 sitéf=F: pourx∈R, Comme la fonctionFXestCsurR,Xadmet une denX X   −x fX(x) = exp−x−e. 4)Intégrabilité deXet calcul de son espérance 1. Lesdeux premiers exercices sont une version améliorée d’une partie du sujet de l’examen IPE du 18 janvier 2007

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