Seminaire Poincare XIV Seminaire Poincare

Cédric Villani

Description

Niveau: Secondaire
Seminaire Poincare XIV (2010) 1 – 26 Seminaire Poincare (Ir)reversibilite et entropie Cedric Villani Universite de Lyon & Institut Henri Poincare 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE La cosa piu meravigliosa e la felicita del momento L. Ferre La fleche du temps fait partie de notre experience sensible et nous la ressentons chaque jour : les miroirs brises ne se recollent pas, les etres humains ne rajeunissent pas, les cernes croissent sans cesse dans les troncs des arbres, nous avons la memoire des evenements passes et pas des evenements futurs. En somme, le temps s'ecoule toujours dans le meme sens ! Pourtant, les lois fondamentales de la physique classique ne privilegient aucune direction du temps et obeissent a une rigoureuse symetrie entre passe et futur. Il est possible, comme discute dans l'article de T. Damour dans ce meme volume, que l'irreversibilite soit inscrite dans d'autres lois de la physique, par exemple du cote de la relativite generale ou de la mecanique quantique. Depuis Boltzmann, la physique statistique avance une autre explication : la fleche du temps traduit un flot constant des evenements moins probables vers les evenements plus probables. Avant de continuer sur cette interpretation qui constitue le fil directeur de tout l'expose, je noterai que l'ecoulement du temps n'est pas forcement base sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n'est pas parce qu'un evenement est probable qu'il va se realiser effectivement, or la fleche du temps semble inexorable et ne tolerer aucune exception.

• histoire de l'interpretation statistique de la fleche du temps


• nouvelle mine de problemes mathematiques


• theorie cinetique des gaz


• concentree sur le vecteur des positions


• enonce physique


• possibilites de collision triple


• particule


• fleche du temps


• potentiel

Sujets

• Kelvin
• Poincaré
• Villani
• Théorie cinétique des gaz
• Particule
• Flèche du temps

Informations

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Extrait

S´eminairePoincare´XIV(2010)1–26

(Ir)re´versibilit´eetentropie

Ce´dricVillani Universit´edeLyon &InstitutHenriPoincar´e 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE

S´minairePoincare´ e

Lacosapiu`meravigliosa`elafelicit`adelmomento L. Ferre ´

La`flsmpteduheeceiresecnisneeelbtiarenedreotp´exstnouslaressentontpaif chaquejour:lesmiroirsbris´esneserecollentpas,lesˆetreshumainsnerajeunissent pas,lescernescroissentsanscessedanslestroncsdesarbres,nousavonslam´emoire dese´ve´nementspass´esetpasdese´ve´nementsfuturs.Ensomme,letempss’´ecoule toujoursdanslemˆemesens!Pourtant,lesloisfondamentalesdelaphysiqueclassique neprivil´egientaucunedirectiondutempsetob´eissent`aunerigoureusesyme´trie entrepasse´etfutur.Ilestpossible,commediscut´edansl’articledeT.Damourdans cememevolume,quel’irr´eversibilit´esoitinscritedansd’autresloisdelaphysique, ˆ parexempleducˆot´edelarelativite´ge´ne´raleoudelam´ecaniquequantique.Depuis Boltzmann, laphysique statistiqueafl`eon:lcatixplirteeenuacnueaavspdehcmetu traduitunflotconstantdes´eve´nementsmoinsprobablesversles´ev´enementsplus probables.Avantdecontinuersurcetteinterpr´etationquiconstituelefildirecteur detoutl’expose´,jenoteraiquel’e´coulementdutempsn’estpasforc´ementbase´sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n’est pasparcequ’un´eve´nementestprobablei’uqaliserlvaser´eeffectivemento,lrflaech`e dutempssembleinexorableetnetole´reraucuneexception.Lare´ponsea`cetteob- jection tient dans un slogan : laond’´echellesse´aparit. Si les lois fondamentales de laphysiques’exercentauniveaumicroscopique,particulaire(atomes,mole´cules...), lesph´enome`nesquenouspouvonssentiroumesurermettentenjeuunnombre conside´rabledeparticules.L’effetdecenombreestd’autantplusgrandqu’ilinter- vient dans des calculs combinatoires : siNrapsicittnapnua`e,lenombred’atome exp´erience,estdel’ordrede10 10 s,maiabled´erisnoca`je´dtse’c,N! ou 2 N sont des nombres surnaturellement grands, invincibles. Lesinnombrablesde´batsentrephysiciensquisesontensuivispendantplus d’unsie`cle,etsepoursuiventencoreaujourd’hui,t´emoignentdelasubtilit´eetde la profondeur des arguments de Maxwell et Boltzmann, porte-drapeaux d’une pe- titer´evolutionscientifiquequis’accomplitdanslesann´ees1860et1870,etquivit naıˆtrelesfondementsdelath´eoriecin´etiquedesgazmoderne,leconceptuniversel ` d’entropiestatistique,etlanotiond’irre´versibilit´emacroscopique.Adirevrai,les argumentse´taientsisubtilsqueMaxwelletBoltzmanns’ysonteux-mˆemesparfois perdus,he´sitantsurcertainesinterpre´tations,alternantleserreursnaı¨vesavecles conceptsprofonds;lesplusgrandsscientifiquesdelafindudix-neuvie`mesie`cle,

2C.VillaniSe´minairePoincare´ commePoincar´eouLordKelvin,n’ontpase´te´enreste.Ontrouveraunaperc¸ude cesatermoiementsdansletextedeDamourde´ja`cite´;pourmapartjemecontenterai depre´senteruneversion“d´ecante´e”delathe´oriedeBoltzmann. Enretra¸cantl’histoiredel’interpr´etationstatistiquedelafl`echedutemps,nous auronsl’occasiond’effectuerunvoyageaucœurdeprobl`emesprofondsquidepuis plusd’unsie`cleagitentmath´ematiciensetphysiciens.On´evoqueraa`lafindecetexte lafa¸condontLandaufitvoleren´eclatleparadigmedeBoltzmann,d´ecouvrantune apparenteirre´versibilite´la`o`uilnesemblaitpasyenavoir,etouvrantunenouvelle minedeproble`mesmathe´matiques. Lesnotationsutilise´esdanscetexpose´sontdansl’ensembleclassiques;jenoterai N={123   }gol=goltnemhtiraieerp´´en.e

1 Le royaume inaccessible de Newton On va adopter ici une description purement classique de notre univers physique, selonleslois´edict´eesparNewton:l’espaceambientesteuclidien,letempsabsolu, etl’acc´el´erationeste´galeauproduitdelamasseparlare´sultantedesforces. Danslecasdeladescriptiond’ungaz,ceshypoth`esessontdiscutables:d’apre`s E.G.D.Cohen,lesfluctuationsquantiquesnesontpasne´gligeablesauniveaume´so- scopique.Lanatureprobabilistedelam´ecaniquequantiqueesttoujoursde´battue; admettonscependantquel’incertitudeaccruequir´esulteraitdelapriseencompte de ces fluctuations ne puisse qu’arranger nos affaires, au moins qualitativement, et concentrons-nousdoncsurdesmod`elesclassiquesetde´terministes,“a`laNewton”. 1.1Lemod`eledessph`eresdures Pourfixerlesid´ees,conside´ronsunsyste`medeparticulessphe´riqueside´ales rebondissant les unes sur les autres : soientNparticules dans une boˆıte Λ, on d´esigneparX i (t) la position au tempst´teeulicrtparo´eumenecudaledertni. Les re`glesdumouvements’´enoncentcommesuit: •tnibne´sciluseostlesparttialemenuqesini’snOoppu(es´earepi6=j=⇒ |X i −X j |>2rpe´ste)roi(lapaesdear´ed(X i  ∂Λ)> rpour touti). •aTcesetnuqitioconds´epnsdesnoitarasitastno,lesitfameveouemtnset ¨ ¨ rectiligne uniforme :X i (t) = 0 pour toutiotnne`o,o’luX=d 2 Xdt 2 ionerat´el´’accl deX. •Quand deux particules se rencontrent, leurs vitesses changent brutalement selon les lois de Descartes : si|X i (t)−X j (t)|= 2r, alors ˙ ˙    X ˙ ˙ i (t + ) =X ˙ i (t − )−2 D X i (t − )−X ˙ ˙ j (t − ) n ij E n ij    X j (t + ) =X j (t − )−2 D X ˙ j (t − )−X i (t − ) n ji E n ji  o`ul’onnoten ij = (X i −X j )|X i −X j |vecteur unitaire joignant les centres desle boules en collision. •Quand une particule rencontre le bord, sa vitesse change aussi : si|X i −x|=r avecx∈∂Λ, alors X ˙ i (t + ) =X ˙ i (t − )−2  X ˙ i (t) n(x)  n(x)

Vol.XIV,2010(Ir)re´versibilite´etentropie3 o`un(xeuri`arenΛeonmrtsaltxe´laee)exsopibee´dneinfiee.up,s ´ Cesr`eglesnesontpassuffisantespourd´efinircomple`tementladynamique: onnepeutaprioriexclurelespossibilit´esdecollisiontriple,collisionssimultane´es entreparticulesetlebord,ouencored’uneinfinit´edecollisionsseproduisanten tempsfini.Cependantces´eve´nementssontdeprobabilit´enullesilesconditions initialessonttire´esauhasardselonlamesuredeLebesgue(oumesuredeLiouville) dansl’espacedesphases[40,Appendice4.A];onn´egligeradoncces´eventualit´es.La dynamiqueainsid´efinie,toutesimplequ’ellesoit,peutalorseˆtreconside´re´ecomme une caricature de notre univers complexe si le nombreNleseticu`esgsttrperad.dnar ´ Etudie´edepuisplusd’unsi`ecle,cettecaricaturen’apasencorelivr´etoussessecrets, il s’en faut de beaucoup.

1.2Autresmod`elesnewtoniens ` Apartirdumode`leemble´matiquedessph`eresdures,onpeutde´finiruncertain nombre de variantes plus ou moins complexes : •remplacer la dimension 3 par une dimensiond≥2 arbitraire (la dimension 1 ´ta t probablement pathologique) ; e n •res(temiliuxnaiouseuqitsale´dnobarunis)pparorleseremplacerlacondit loi plus complexe [40, Chapitre 8] ; •riarle´euauotnocsbords,teimmeinerlelet´sielsayc`stteuo,ponjsroundas dans l’espace entierR d (mais on peut alors argumenter que le nombre de particules devraiteˆtreinfinipourconserverunedensit´emoyenneglobalenonnulle)oudans untoredecˆot´eL,T L d =R d (LZ d c,)iuqee;itsuneit´fresnalleadmoncserapr´ehoix •aretni’lcednoitcreracplemitnoietnrecahpssere`atnoedtcnerutrauursdpaes entreparticulespontuelles,parexempleassoci´eea`unpotentield’interactiona`deux corpsφ(x−y)ot=ptienexel´crepuaetnioxunpointmat´erielisute´nerapy. Parmilespotentielsd’interactionnotables,onmentionne,endimension3,a` stante multiplicative ` con pres : - le potentielcoulombien:φ(x−y) = 1|x−y|; - le potentielnewtonien:φ(x−y) =−1|x−y|; - le potentielmaxwellien:φ(x−y) = 1|x−y| 4 . L’interactionmaxwelliennea´et´eintroduiteartificiellementparMaxwelletBoltz- manndanslecadredel’´etudestatistiquedesgaz;elleme`nea`d’importantessimpli- fications dans certaines formules. Il existe une zoologie d’autres potentiels (Lennard- Jones,Manev...).Lessphe`resdurescorrespondentaucaslimited’unpotentielqui vaudrait 0 pour|x−y|> ret +∞pour|x−y|<2r. Supposantplusg´en´eralementquel’interactionsefaitsurunee´chelled’ordrer etavecl’intensit´eano,anrrvi`euaemt`ysstiarepednopselucselleutcpoteaveclntie d’interaction: ¨ X i (t) =−a j6 X =i ∇φ  X i −X r j  (1) pour touti∈ {1     N}; on suppose doncX i ∈T d L . Ici encore, la dynamique estbiend´efinieen-dehorsd’unensembledeconditionsinitialesexceptionnelles,et associ´ee`aunflot newtonien:N t mespfiguraconnautatiouqla`isassocie la position au tempss+t(t∈Rgetafi.)tifiuo´ntuepsoperteˆ

C.VillaniS´eminairePoincare´

4 1.3 Fonctions de distribution Meˆmesil’onacceptelemod`elenewtonien(1),ilnousresteinaccessible: d’abord parce que nous ne percevons pas les particules individuellement (trop petites), et rce que leur nombreN´dilbartsesnocsieicnohbseineec´erisexpecdee.Avons, pa e peutmesurerlapressi´esurunepetitesurface,latemp´eratureautourd’un on exerce point,ladensit´emoyenne,etc.Toutescesquantit´esnes’exprimentpasdirectement en fonction desX i tˆluspai,mednoitcnofnetonnesmoyet´esantiuq ˙ N 1 X χ(X i  X i )(2) i o`uχest une fonction scalaire. La distinction peut sembler oiseuse : en particularisantχe`se,ceonecnlprntrant de la particuleiretr,onl’inouvemeemtnc,leamrofoitanamnnauq.Mtesbain´ieidev est impossible : en pratiqueχnoiatiavarest`macroscopique, par exemple de l’ordre de la taille de la boˆıte. En outre, l’information contenue dans les moyennes (2) ne ˙ distinguepaslesparticules,desortequel’onaremplace´levecteurdes(X i  X i ) par lamesure empirique b N t = N 1 N X δ (X i (t)X ˙ i (t)) (3) i=1 La terminologie “empirique” est bien choisie : c’est la mesure que l’on observe au moyen (sans jeu de mots) de mesures. Pourre´sumer:notreconnaissancedusyst`emedeparticuless’effectueunique- menta`traverslecomportementdelamesureempiriquedansunetopologie faible quimode´liselalimitationmacroscopiquedenosexp´eriences–aussibienexp´eriences delaboratoirequ’expe´riencessensibles. Tr`essouvent,a`notree´chelle,lamesureempiriqueapparaˆıtcontinue: b N t (dx dv)≃f(t x v)dx dv On notera souventf(t) =f t e´.sntiaLedfest laeuqitecin´tionribudistdu gaz. L’e´tudedecettedistributionconstituelathe´oriecine´tiquedesgaz;lefondateurde cette science est sans doute D. Bernoulli (vers 1738), et les plus fameux contributeurs ensontMaxwelletBoltzmann.Ontrouveraunebre`vehistoiredelath´eoriecine´tique dans[40,Chapitre1]etlesre´fe´rencesincluses. Continuonsl’´etudedusyste`menewtonien.Onpeutimaginerquecertaines expe´riencespermettentdesmesures simultaneesspdeamartr`eedsesulprueiraps-´ ticules,donnantainsiacc`esa`descorre´lationsentreparticules.Cecinousme`nea ` d´efinirparexemple b t 2;N (dx 1 dv 1 dx 2 dv 2 ) = N(N 1 −1) X =j δ (X i 1 (t)X ˙ i 2 (t)X i 2 (t)X ˙ i 2 (t))  i6 ouplusg´en´eralement b t k;N (dx 1 dv 1  dx   k dv k ) =  (N−k N! −1)! X δ (X i 1 (t)X ˙ i 1 (t)X ˙ i k (t)X k i (t))  (i 1 i k )distincts

Vol.XIV,2010(Ir)re´versibilit´eetentropie5 Les approximations correspondantes sont lesfctonnsiodideirtsituba`nokparti- cules: b k t ;N (dx 1 dv 1  dx   k dv k )≃f (k) (t x 1  v 1      x k  v k ) ´ Evidemment, en continuant jusqu’ak=N, on trouve une mesureb N;N (dx 1  dv   N ) ` concentre´esurlevecteurdespositionsetvitessesdesparticules(moyennesurtous ´ leschoixdepermutationsdesparticules).Maisenpratiqueonnevajamaisjusqu’`a k=N:keoit)explrsqu,aloarti3aesa`nu´djet(tilealusrj’`qutser`rteepseNest gigantesque.

1.4 Al´atoire microscopique e Malgre´led´eterminismedumod`elenewtonien,onade´j`afaitdeshypoth`eses denatureprobabilistesurlesdonne´esinitiales,ensupposantqu’ellesnesontpas configur´eesdesorte`aaboutir`aunecatastropheraretellequ’unecollisiontriple. Onpeutmaintenantg´en´eralisercetteapprocheenconside´rantunedistributionde probabilite´surl’ensembledespositionsetvitessesinitiales:  0 N (dx 1 dv 1  dx   N dv N ) que l’on appelleraabilprobmicrit´eeredemusuqipocsoe. Dans la suite on notera pourabre´ger dx N dv N :=dx 1 dv 1    dx N dv N  Il est naturel de choisir 0 N ymstr´eapprnaetavirernia-dist-`,c’eiqueontitamuer N;N descoordonne´es.Ladonn´ee 0 N remplace la mesureb 0 tealnodeenselill.Eeng´ra´e lieu a un flot de mesures, obtenu par l’action du flot : `  N t = (N t ) #  0 N  et des marginales t k;N = Z x k v k )  t N   (x 1 v 1  Silesensdelamesureempiriqueesttransparent(c’estla“vraie”densite´de particules),celuidelamesuredeprobabilite´microscopiqueestmoinse´vident.Ima- ginonsquel’e´tatinitialae´te´pre´par´eparungrandconcoursdecirconstancesdont nous ne savons pas grand chose : on peut seulement faire des suppositions et des devinettes. Ainsi 0 N sopslbisocse-finuresenl’mbsedelerudepeorabibil´testunemes gurationsinitiales.Une´nonce´physiquefaisantintervenir 0 N edeordae`ruuag’cnn senss’ilutiliselaformepre´cisedecettedistribution(nousnepourronsleve´rifier,car nous n’observons pas 0 N ceonenl´prroepune´te´i)m;urauns’iaisilena 0 N -presque sure, ou n su ˆ bie ˆre avec 0 N itil0.´eou99vadagatn.eboba-rp Demeˆme,laformede t 1;N nnouais’laMsiuq.en’ag`uredesenepsyhis phe´nom`enedeconcentration de la mesurentgagiauˆudsiemedN, alors on peut esperer que ´  0 N h dist  b t N  f t (x v)dx dv  ≥r i ≤α(N r) o`udistestunedistancebienchoisiesurl’espacedesmesuresetα(N r)→0 quand r→ ∞, d’autant plus vite queNest grand (par exempleα(N r) =e −c N r ). On