Soit 2RE ou 3RE

Laine

Description

APPLICATION LINÉAIRE I Généralités Soit 2RE = ou 3RE = . Définition : EEf ?: est une application linéaire si pour tout ( ) 2, Euu ???? et pour tout ( ) 2, R???? ( ) ( ) ( )ufufuuf ???? ??+=??+ ???? Exemple : 1°) 2RE = , Soit jyixu ??? += un vecteur de R2 . Soit r l'application qui à u? un vecteur de R2 , telle que ( ) jxiyur ??? +?= Ou encore : ??? ? ??? ?? ???? ? ??? ? ? x y y x RRr 22: Ou encore ( ) jir ?? = et ( ) ijr ?? ?= , en effet ( ) ( ) ( ) ( ) jxiyjyrixrjyixrur ??????? +?=+=+= Ce qui montre que l'on peut aussi définir r pour tout u? en connaissant ( )ir ? et ( )jr ? ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) jxxiyyjyyixxrjyixjyixruur ?????????? ??++??+?=??++??+=?+??++=??+ ???????????? ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ururjxiyjxiyuur ?+=?+???++?=??+ ???????? ?????? 2°) 2RE = .

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Informations

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• Langue: Français

Extrait

APPLICATION LINÉAIRE

I Généralités

Soit

2

R

E

=

ou

3

R

E

=

.

Définition :

E

E

f

→

:

est une application linéaire si pour tout

(

29

2

,

E

u

u

∈

′





et pour tout

(

29

2

,

R

∈

′

λ

λ

(

29

(

29

(

29

u

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u

u

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





′

′

+

=

′

′

+

λ

λ

λ

λ

Exemple :

1°)

2

R

E

=

, Soit

j

y

i

x

u







+

=

un vecteur de

R

2

.

Soit

r

l’application qui à

u



un vecteur de

R

2

, telle que

(

29

j

x

i

y

u

r

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+

-

=

Ou encore :

-

→

→

x

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R

R

r

2

2

:

Ou encore

(

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i

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-

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(

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(

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j

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j

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x

r

u

r















+

-

=

+

=

+

=

Ce qui montre que l’on peut aussi définir

r

pour tout

u



en connaissant

(

29

i

r



et

(

29

j

r



(

29

(

29

(

29

(

29

(

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

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λ

λ

λ

λ

λ

2°)

2

R

E

=

. Soit

j

y

i

x

u







+

=

un vecteur de

R

2

.

Soit

p

l’application qui à

u



un vecteur de

R

2

, telle que

(

29

j

y

x

i

y

x

u

p







+

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

Montrons que

p

est linéaire

(

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1

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λ

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2

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

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







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′

′

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′

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+

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

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1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

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y

j

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y

i

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j

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















′

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′

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′

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λ

λ

λ

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λ

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1

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2

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2

1

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1

2

1

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1

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1

2

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λ

λ

λ

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2

1

2

1

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1

2

1

2

1

2

1

2

1

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λ

λ

λ

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29

(

29

u

p

u

p

u

u

p









′

′

+

=

′

′

+

λ

λ

λ

λ

On peut aussi définir

p

de la façon suivante :

+

+

→

→

y

x

y

x

y

x

R

R

p

2

1

2

1

2

1

2

1

:

2

2

1