TD Equations Differentielles n

TD Equations Differentielles n? 2 Systemes differentiels lineaires a coefficients constants 1)Determiner exp(tA), t ? R lorsque A est une des matrices suivantes: ( 5 ?6 3 ?4 ) , ( 2 ?1 1 2 ) , ? ? 0 1 2 0 0 3 0 0 0 ? ? , ? ? 2 0 0 0 3 0 0 1 3 ? ? , ? ? ? 0 0 1 ? 0 0 1 ? ? ? , ? ? C 2) Soit ? ? C et n ? N?. Calculer etA, t ? R ou A ?Mn(C) est la matrice A = ?Id+N, Ni,j = ?j=i+1. 3) Soit A ? Mn(C) tel que les valeurs propres ?i de A verifient Re(?i) ≤ ?? < 0. Montrer que quelque soit ? > 0, il existe C(?) tel que ?etA? ≤ C(?)e(??+?)t, ?t ≥ 0. (on utilisera la question precedente). En deduire que limt?∞ etA = 0 4) Le resultat de la question precedente est il toujours vrai si on suppose qu'il ex- iste une valeur propre ? de A telle que Re(?) = 0? Justifier en exhibant des systemes differentiels X˙ = AX, ou les valeurs propres ?i de A verifient Re(?i) ≤ 0, possedant des solutions non bornees.

• theorie de floquet


• autour de la formule de duhamel


• base de solution de x˙


• unique solution


• formule de liouville


• systeme decrit par l'equation x??


• equation differentielle


• systeme differentiel