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122 Olympiades académiques - 2006 Or, JD > 1. Donc la deuxième nappe ne peut pas recouvrir J et D. La longueur maximale cherchée est 2√5 . Exercice no 2 Enoncé L'Etoile Les nombres entiers de 1 à 12 doivent être placés dans les douze cases de l'étoile ci-dessous. La position du nombre 12 est donnée. Les nombres écrits à l'extérieur de l'étoile sont les produits des nombres placés dans les cinq cases de l'étoile situées dans la direction de la flèche. 12 1440 4158 2016 6600 6336 3150 1) Quelle est la seule case qui peut contenir le nombre 7 ? Justifier la réponse. 2) Quelles sont les cases possibles pour les nombres 5 et 10 ? Justifier la réponse. 3) Placer les nombres 1 et 9. Justifier la réponse. 4) Placer, sans justification, les autres nombres et reproduire l'étoile com- plétée sur la copie.

  • olympiades académiques

  • flottement entre les étoiles ?

  • figure dans la travée de produit

  • maxi- mum de renseignements

  • travée

  • etoile ?


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Langue Français
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o Exercice n2 EnoncÉ L’Etoile Les nombres entiers de1Ā12doivent tre placs dans les douze cases de l’toile ci-dessous. La position du nombre12est donne. Les nombres crits Ā l’extrieur de l’toile sontles produitsdes nombres placs dans les cinq cases de l’toile situes dans la direction de la flche.
1) Quelleest la seule case qui peut contenir le nombre7? Justifier la rponse. 2) Quelles sont les cases possibles pour les nombres5et10? Justifier la rponse. 3) Placerles nombres1et9. Justifier la rponse. 4) Placer,sans justification, les autres nombres et reproduire l’toile com-plte sur la copie.
Olympiades acadÉmiques - 2006
Solution (Paul-Louis Hennequin) PrÉliminaires
a)Nommons les 11 cases vides deaĀksuivant la figure. b)Dcomposons en facteurs premiers les produits : 5 2 1440 = 2×3×5 3 4158 = 2×3×7×11 2 2 3150 = 2×3×5×7 6 2 6336 = 2×3×11 5 2 2016 = 2×3×7 3 2 6000 = 2×3×5×11.
1)1440, 6336 et 6000 ne sont pas divisibles par 7 mais 2016 l’est. La seule case qui peut contenir 7 estd.
2);4158, 6336 et 2016 ne sont pas divisibles par 5 5 et 10ne peuvent donc tre placs qu’enaetbou beta.
3)6600 n’est pas divisible par 9, 1440 et 2016 ne sont pas divisibles par 27 et 12 est divisible par 3. Cela laisseecomme seule case possible pour 9 et 1 doit tre plac enc.
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Olympiades acadÉmiques - 2006
4)1440, 3150 et 2016 ne sont pas divisibles par 11, mais 6336 l’est. 11 doit donc tre plac enh.
5)Nous sommes donc arrivs Ā l’tape ci-contre en notant`le contenu de la case`. (a)(b)= 50 4158 (k)(i)= =6 7.9.11 6600 (k)(g)= =12 5.10.11 2016 (i)(j)= =24 7.12 6336 (f)(g)= =24 11.24 1440 (b)(f)(g)120= = 12
d’oÙ(b) = 5et(a) = 10. (k)(i)(j) = 6(j) = 24(k)d’oÙ(j) = 4(k)et comme26(k)et(j)68,(k) = 2et(j) = 8. (k)(f)(g) = 12(f) = 24(k)d’oÙ(f) = 2(k) = 4, (g) = 6(i) = 3. On vrifie que la solution ci-contre convient et la suite des tapes tablit l’unicit.
Olympiades acadÉmiques - 2006
Solution (Henri Bareil) 1PLACER 7
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Comme 7 est premier, il faut et il suffit qu’il appartienne Ā toute trave dont le produit est divisible par 7. (Il n’en irait pas ainsi, comme condition ncessaire, pour un nombre non premier : 8, par exemple, peut trs bien ne pas figurer dans une trave dont le prpoduit est divisible par 8. Cette divisibilit peut s’effectuer autrement qu’avec 8 grce ĀÇ la prsence, par exemple, de 12 et de 2, de 4 et de 2, de 10 et de 4, etc). Des ddcompositions bien choisies -ainsi 1440 = 1400 + 40; 4158 = 4200 - 42; etc;, permettent de rpondre aisment en calcul mental Ā la divisibilit par 7. Il merge trois produits divisibles par 7. Ce sont 4158; 3150; 2016. 7 est Ā l’intersection des trois traves correspondantes.
Remarque : La mme mthode permet de placer 11, lui aussi premier, qui occupera la case intersection de trois traves possibles : celles de 4158; 6336; 6600. Elle ne permet pas de placer le nombre premier 3. Une trave peut avoir son produit divisible par 3 sans que 3 y figure, pourvu qu’y figurent 6 ou 9 ou 12. Quant Ā 5, Cf. ci-dessous.
2PLACER 5 ET 10
Sans calculette ( !), il apparat immdiatement que trois produits sont divisibles par 5 et 10. Deux sont mme divisibles par5×10, l’autre pas. D’oÙ deux possibilits, au moins pour l’instant.
3PLACER 1 et 9 La tyrave la plus sympa est celle qui a trois cases garnies. Soitaetbles deux autres nombres. 5×10×7×a×b= 3150soit350ab= 3150etab= 9. Ora6=b. D’oÙa= 1et b= 9oua= 9etb= 1. Commeafigure dans la trave de produit 2016,adoit diviser2016 : 84soit 24. Ceci exclut 9. Donca= 1etb= 9.
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4 Dslors :
Olympiades acadÉmiques - 2006
Considrons les casesc, d, epour lesquelles il semble que nous ayons le maxi-mum de renseignements. En utilisant les produits correspondants : ce= 24Le nombre 12 tant djĀ utilis, il reste la possibilitcd= 6d’oÙ c= 3ete= 8(ou « Ā l’envers ») etc= 4ete= 6 (ou Ā l’envers). c= 2etd= 3, ou Ā l ’envers.
Les deux conditions simultanes obligent Āc= 3. D’oÙd= 2ete= 8.
DÈs lors, nous sommes sÛrs de l’Étoile ci-dessous :
avec un flottement entre les toilesαetβpour 5 et 10. Mais dans les deux cas, y= 600 : (50×11×2) y= 6.
Doncxz= 1440 : (12×6) = 20 puisx= 2etz= 10oux= 4etz= 5. Le casx= 2est exclu, 2 tant djĀ attribu.
Olympiades acadÉmiques - 2006
Cela oblige au choixβet Ā la solution, unique, ci-dessous.
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PalmarÈs SÉrie S Premier prix :RAUCY Loc - Lyce Fabert - METZ DeuxiÈme prix :JUAN Paul-Edouard - Lyce Georges de la Tour - METZ TroisiÈme prix :ROLIN Pierre - Lyce Fabert - METZ WURTZ Damien - Lyce Louis Vincent - METZ. SÉries L - SE Premier prix :NEYHOUSER Simon - Lyce Fabert - METZ SÉries STL-STI Premier prix :BRANLY Edouard - Lyce Varoquaux - TOMBLAINE.