Télécharger le texte et les solutions au format PDF

Télécharger le texte et les solutions au format PDF

Documents
10 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Olympiades académiques - 2006 21 SUJETS NATIONAUX Exercice no 1 Enoncé La « spirale » Le plan muni d'un repère orthonormal d'origine O (unité 1 cm), est quadrillé de droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan. Sur ce quadrillage, on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre », conformément au dessin ci-dessous. Pour tout point M à coordonnées entières, on note (M) la longueur de la por- tion de « spirale » qui va du point O au point M. O M 1) Soit A un point de l'axe des abscisses tel que OA = 5. Déterminer les valeurs possibles de (A). 2) Soit B le point de coordonnées (2005 ; 2006). Déterminer (B). 3) Déterminer les coordonnées du point C tel que (C) = 2006. 4) La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?

  • quart de tour dans le sens direct

  • abscisse

  • coordonnées entières du plan

  • ?n

  • point de coordonnées


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 21
Langue Français
Signaler un problème
Olympiades acadÉmiques - 2006
SUJETS
o Exercice n 1
Enonc La « spirale »
NATIONAUX
21
Le plan muni d’un repre orthonormal d’origine O (unit 1 cm), est quadrill de droites parallles aux axes de coordonnes et passant par tous les points Ā coordonnes entires du plan. Sur ce quadrillage, on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brise en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre », conformment au dessin ci-dessous. Pour tout point M Ā coordonnes entires, on note`(M)la longueur de la por-tion de « spirale » qui va du point O au point M.
1) Soit A un point de l’axe des abscisses tel queOA= 5. Dterminer les valeurs possibles de`(A). 2) Soit B le point de coordonnes (2005 ; 2006). Dterminer`(B). 3) Dterminer les coordonnes du point C tel que`(C) = 2006. 4) La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points Ā coordonnes entires du plan ?
22
Olympiades acadÉmiques - 2006
On rappelle le rsultat suivant : n X n(n+ 1) Pour tout entier naturelnnon nul,1 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+n=k=. 2 k=1
Solution 1 CommenÇons par des considrations gnrales.
est une runion de segments dont les sommets sont situs Δ2etΔ3dont les quations sont simples Ā trouver, Ā Ù elles ont Ā intervenir :y=x1 (Δ1), y=x2)et
Notons que la spirale sur trois droitesΔ1, savoir dans l’ordre o y=x3).
Notons : Anle point deΔ1d’abscissen: il a pour coordonnes :(n+ 1,n). Bnle point deΔ2d’abscissen: il a pour coordonnes :(n,n). Cnle point deΔ3d’abscissen: il a pour coordonnes(n, n). Δnle point deΔ2d’abscissen: il pour coordonnes :(n, n). La spirale n’est alors rien d’autre que la runion pournNdes segments
[Dn1An],[AnBn],[BnCn] et [CnDn]
de longueurs respectives2n1,2n1,2net2n. Le pointOpeut tre considr comme le pointD0. On conjecture facilement que les pointsAnetCnsont tels que : 2 2 `(An) = (2n1)et`(Cn) = (2n) Dmontrons-le : `(An) =OA1+A1B1+B1C1+C1D1+D1A1+∙ ∙ ∙+Bn1Cn1+Cn1Dn1+ Dn1An
Olympiades acadÉmiques - 2006
23
= 1 + 1 + 2 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+ (2n2) + (2n2) + (2n1) = 2.((1 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+ (2n2) + (2n1)) (2n1)(2n1) = 2.+ (2n1) = (2n2)(2n1) + (2n1) 2 2 = (2n1) ((2n2) + 1) = (2n1) et 2 2 2 `(Cn) =`(An) +AnBn+BnCn= (2n(21) + n1) + 2n= 4n= (2n).
1. Il existe deux pointsAde l’axe des abscisses tels queOA= 5, l’un d’abscisse 5, l’autre d’abscisse -5. er 1 cas :A(5.0) Ce point est sur le segment[B5C5]; en effet, on aB5(5,5)etC5(5,5) avecAC5= 5. 2 Ainsi`(A) =`(C5)5 = 105 =95 Ème0 2 cas :A(5,0) 0 Ce point est sur le segment[D5A6](D5(5,5), A6(5,6)) avecA A6= 6. 02 Ainsi`(A) =`(A6)6 = 116 =115 . 2.B(2005,2006)est sur le segment[C2006D2006]; en effet, on aC2006(2006,2006)etD5(2006,2006)avecC2006B= 1. 2 Ainsi`(B) =`(C2006012 + ) + 1 = 4 1 =16 096 145 . 3. On cherche ici le pointCtel que`(C) = 2006. Or, la suite des nombres`(O) = 0,`(A1) = 1,`(C1) = 4,`(A2) = 9, 2 2 `(C2) = 16,. . .`(An) = (2n1),`(Cn) = (2n)est la suite des carrs des entiers naturels (ou « carrs parfaits »). Il suffit donc d’encadrer 2006 par deux carrs parfaits successifs :
2 2 `(C22= 1936) = 44 <2006<=2025 = 45 `(A23).
De plus,C22D22= 44donc
2 `(D22) = 1936 + 44 = 1980<2006<=2025 = 45 `(A23).
doncC[D22A23]. ½ x=22 =x=x C D22A23 Enfin :20061980 = 26, donc wC=xD2226 = 2226 =4 DoncC(-22,-4)a pour coordonnes
Solution 2 propose par l’acadmie de Caen.
Le texte ne prcise pas laquelle des deux droites passant parOdoit tre choisie comme axe des abscisses ; il existe donc deux possibilits. Le texte ne prcise pas non plus le sens des vecteurs de base ; il y a donc deux possibilits pour chacun, ce qui donne huit repres(O, i , j) Dans les figures ci-dessous, la spirale est dessine en noir pais et les vecteurs de base en traits fins discontinus.
24
Olympiades acadÉmiques - 2006
On peut penser que l’orientation envisage par l’auteur du texte est l’orientation « classique » du repre (cas du repre R1). Nous utiliserons ici le repre R5et en dduirons ensuite les rsultats dans tous les autres cas. Remarque : une rotation de la feuille d’un quart de tour dans le sens direct permet, dans ce cas, de retrouver une position « rassurante » du repre. * Appelons, pour toutnN 0 l Anle point de coordonnes(n, n),Ane point de coordonnes(n,n) Cnle point de coordonnes(n;n),Bnle point de coordonnes(n,n+ 1).
0 La spirale est forme des segments[OB],[B A]A, C ] 1 1 1[A1C1],[1 1, 0 0 [B],[ A1 2B2A2],[A2C2],[C2A], . . . 2 0 0 [A B],[B A],[A C], . . . n1n n nn n [CnAn], Les segments[OB1]et[B1A1]ont pour longueur 1 0 les segments[A1C1]et[C1A]ont pour longueur 2, 1 0 les segments[A B2]et[B2A2]ont pour longueur 3, 1 0 les segments[A2C2]et[C2A2]ont pour longueur 4.
0 a pour coordonne An1s((n1),(n1)),Bna pour coordonnes(n,(n1)). 0 Le segment[A Bn]a donc pour longueurn((n1)) = 2n1puisque n1 0 Aont mme ordonne. n1etBn Ana pour coordonnes(n, n), le segment[BnAn]a donc pour longueur n((n1)) = 2n1puisqueBnetAnont mme abscisse. Cnayant pour coordonnes(n, n), le segment[AnCn]a pour longueur n(n) = 2npuisqueAnetCnont mme ordonne. 0 0 Aayant pour coordonnes(n,n), le segment[CnA]a pour longueur n n
Olympiades acadÉmiques - 2006
0 puisqueCon n(n) = 2nnetAnt mme abscisse.
* En consquence, pour toutnN,
25
0 0 L(A)=OB+B A+A C+C A+B A+∙ ∙ ∙ n1 1 1 11 1 +A1B22 2 1 0 0 +A Bn+BnAn ∙ ∙ ∙+An1Cn1+Cn1An1n1 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 +∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ 2(n1) + 2(n1) + 2n1 + 2n1 2n1 X (2n1)2n = 2(1 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+ 2n1) = 2i= 2 2 i=1 = 2n(2n1) et 0 0 L(A)=L(An) +AnCn+CnA(n) = 2n(2n1) + 2n+ 2n n = 2n(2n1 + 2) = 2n(2n+ 1) 0 0 segment[Bd’extrmitsAde coordonnes(LeA1n]n1(n1), n(n1))etBnde coordonnes(n,(n1))est form de tous les points d’ordonne(n1)dont l’abscisse est comprise entre(n1)etn. Tous ces points sont des points de coordonnes(x, y)telles quey <0ety6x6y+ 1, ce qui peut encore s’crire : y <0et|x|6youx=y+ 1(condition 1).
Le segment[BnAn]d’extrmitsBnde coordonnes[n,(n1)]etAnde co-ordonnes(n, n)est form de tous les points d’abscissendont l’ordonne est comprise entre(n1)etn. Tous ces points sont des points de coordonnes (x, y)telles quex >0etx6x1ouy=x, ce qui peut encore s’crire : x >0et|y|6x1ouy=x(condition 2).
Le segment[AnCn]d’extrmitsAnde coordonnes(n, n)etCnde coordonnes (n, n)est form de tous les points d’ordonnendont l’abscisse est comprise entrenetn. Tous ces points sont des points de coordonnes(x, y)telles que y >0ety6x6y, ce qui peut s’crire : y >0et|x|6y(condition 3).
0 0 Le segme nt[CnAn]d’extrmitsCnde coordonnes(n;n)etAde coordon-n nes(n,n)est form de tous les points d’abscissendont l’ordonne est comprise entrenetn. Tous ces points sont des points de coordonnes(x, y) telles quex <0etx6y6x, ce qui peut encore s’crire x <0et|y|< x(condition 4).
Remarque : les quatre conditions mises en vidence ci-dessus correspondent Ā un partage du plan en quatre parties disjointes par des demi-droites comme le montre la figure ci-dessous.
26
Olympiades acadÉmiques - 2006
Ces considrations vont permettre maintenant de rpondre trs rapidement aux questions de l’exercice. Les rponses seront d’abord donnes dans le repre choisi puis, en fin de corrig, dans tous les repres possibles.
1. Un point de l’axe des abscisses tel queOA= 5a pour coordonnes, ou bien (5,0) ou bien (5,0). siAa pour coordonnes (5,0), comme5>0et|0|65, A[B5A5]. OrL(A5) = 10×9 = 90, doncL(A) =L(A5)AA5= 905 = 85. siAa pour coordonnes (5,0), comme5<0et|0|65, 0 A[C5A]. 5 0 OrL(A) = 10×11 = 110, 5 0 0 doncL(A) =L(A)AA= 1105 = 105. 5 5 2.Ba pour coordonnes (2005,2006). Comme 2006 > 0 et|2005|62006, B[A2006C2006]. L(A2006= 2×2006(2×20061) = 16 092 132, doncL(B) =L(A2006) +A2006B= 16 092 132 + 1 = 16 092 133.
3. Cherchons la plus grande valeur dentelle queL(An)< L(C). 2 Cette ingalit quivaut Ā2n(2n1)<2006ou Ā2nn1003<0(aprs division des deux membres par 2). 1±5 321 2 Le trinÔme2nn1003a pour racinesn=. 4 1 + 5 321 ndevant tre positif, l’ingalit sera vrifie sin <. 4 1 + 5 321 Or22,6< <22,7. Donc la plus grande valeur dencherche est 4 22.
Olympiades acadÉmiques - 2006
27
L(A22= 2×22(2×221) = 1892etA22C22= 2×22 = 44. Donc L(C22) =L(A22+ 44 = 1892 ) + 44 = 1936;qui est infrieur Ā 2006 C est « plus loin » sur la spirale. 0 0 = 44 ) =L(C)+44 = 1 C22A22. DoncL(A22 22936+44+1980qui est infrieur Ā 2006.Cest encore « plus loin » sur la spirale. 0 2 0061 980 = 26qui est infrieur Ā 46 (longueur de[A22B23]). 0 DoncC[A B23]. 22 0 A; -22) donca pour coordonnes (-22 Ca pour coordonnes(22 + 22 26 ;22)soit(4 ;22). 4. SoitMun point quelconque dans le plan Ā coordonnes entires(p, q). Pour suivre le raisonnement ci-dessous, on se reportera Ā la figure prcdente. SiMest sur l’une des demi-droites, c’est ou le pointOou l’un des 0 , AouB, c’est do pointsAn, Cnn n nc un des points de la spirale. siMest dans la rgion bleue, la parallle Ā(Ox)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=xau point de coordonnes(q, q), c’est le pointAq(en effetq >0), et la droite d’quationy=xau point de coordonnes(q, q), c’est le pointCq. DoncM[AqCq]. C’est un point de la spirale. siMest dans la rgion jaune, la parallle Ā(Oy)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=xau point de coordonnes(p,p)c’est le pointCp(en effetp <0) et la droite d’quationy=xau point de £ ¤ 0 0 . DoncM. C’est un coordonnes(p, p), c’est le pointA CpAp p point de la spirale. siMest dans la rgion rose, la parallle Ā(Ox)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=xau point de coordonnes(q, q), c’est le 0 pointA(en effetq <0) et la droite d’quationy=x+1au point de q £ ¤ 0 intB. DoncMA B coordonnes(q+ 1, q), c’est le poq+1qq+1. C’est un point de la spirale. siMest dans la rgion verte, la parallle Ā(Oy)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=x+ 1au point de coordonnes (p,p+1), c’est le pointBp(en effetp >0) et la droite d’quationy=x au point de coordonnes(p, p), c’est le pointAp. DoncM[BpAp]. C’est un point de la spirale. La spirale passe donc bien par tous les points du plan Ā coordonnes entires.
Envisageons maintenant le cas des autres repres du plan. 1.SoitAle point de coordonnes (5,0) dans le repre Riiest un nombre de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} Repre R1R2R3R4 Coordonnes deAdans Ri(0,5) (0,5) (0,-5) (0,-5) 0 0 Segment auquel appartientA[A C] [BA C [A B] 5 5 5 5] [A5 6]5 6 L(A)115 11595 95