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Olympiades académiques - 2006 21 SUJETS NATIONAUX Exercice no 1 Enoncé La « spirale » Le plan muni d'un repère orthonormal d'origine O (unité 1 cm), est quadrillé de droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan. Sur ce quadrillage, on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre », conformément au dessin ci-dessous. Pour tout point M à coordonnées entières, on note (M) la longueur de la por- tion de « spirale » qui va du point O au point M. O M 1) Soit A un point de l'axe des abscisses tel que OA = 5. Déterminer les valeurs possibles de (A). 2) Soit B le point de coordonnées (2005 ; 2006). Déterminer (B). 3) Déterminer les coordonnées du point C tel que (C) = 2006. 4) La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?

• quart de tour dans le sens direct


• abscisse


• coordonnées entières du plan


• ?n


• point de coordonnées

Sujets

• Académie de Caen
• Coordonnées cartésiennes

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• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

Olympiades acadÉmiques - 2006

SUJETS

o Exercice n 1

Enonc La « spirale »

NATIONAUX

21

Le plan muni d’un repre orthonormal d’origine O (unit 1 cm), est quadrill de droites parallles aux axes de coordonnes et passant par tous les points Ā coordonnes entires du plan. Sur ce quadrillage, on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brise en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre », conformment au dessin ci-dessous. Pour tout point M Ā coordonnes entires, on note`(M)la longueur de la por- tion de « spirale » qui va du point O au point M.

1) Soit A un point de l’axe des abscisses tel queOA= 5. Dterminer les valeurs possibles de`(A). 2) Soit B le point de coordonnes (2005 ; 2006). Dterminer`(B). 3) Dterminer les coordonnes du point C tel que`(C) = 2006. 4) La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points Ā coordonnes entires du plan ?

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On rappelle le rsultat suivant : n X n(n+ 1) Pour tout entier naturelnnon nul,1 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+n=k=. 2 k=1

Solution 1 CommenÇons par des considrations gnrales.

est une runion de segments dont les sommets sont situs Δ 2 etΔ 3 dont les quations sont simples Ā trouver, Ā Ù elles ont Ā intervenir :y=x−1 (Δ 1 ), y=−x(Δ 2 )et

Notons que la spirale sur trois droitesΔ 1 , savoir dans l’ordre o y=x(Δ 3 ).

Notons : A n le point deΔ 1 d’abscisse−n: il a pour coordonnes :(−n+ 1,−n). B n le point deΔ 2 d’abscisse−n: il a pour coordonnes :(n,−n). C n le point deΔ 3 d’abscissen: il a pour coordonnes(n, n). Δ n le point deΔ 2 d’abscissen: il pour coordonnes :(−n, n). ∗ La spirale n’est alors rien d’autre que la runion pourn∈Ndes segments

[D n−1 A n ],[A n B n ],[B n C n ] et [C n D n ]

de longueurs respectives2n−1,2n−1,2net2n. Le pointOpeut tre considr comme le pointD 0 . On conjecture facilement que les pointsA n etC n sont tels que : 2 2 `(A n ) = (2n−1)et`(C n ) = (2n) Dmontrons-le : `(A n ) =OA 1 +A 1 B 1 +B 1 C 1 +C 1 D 1 +D 1 A 1 +∙ ∙ ∙+B n−1 C n−1 +C n−1 D n−1 + D n−1 A n

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= 1 + 1 + 2 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+ (2n−2) + (2n−2) + (2n−1) = 2.((1 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+ (2n−2) + (2n−1)) (2n−1)(2n−1) = 2.+ (2n−1) = (2n−2)(2n−1) + (2n−1) 2 2 = (2n−1) ((2n−2) + 1) = (2n−1) et 2 2 2 `(C n ) =`(A n ) +A n B n +B n C n = (2n−(21) + n−1) + 2n= 4n= (2n).

1. Il existe deux pointsAde l’axe des abscisses tels queOA= 5, l’un d’abscisse 5, l’autre d’abscisse -5. er 1 cas :A(5.0) Ce point est sur le segment[B 5 C 5 ]; en effet, on aB 5 (5,−5)etC 5 (5,5) avecAC 5 = 5. 2 Ainsi`(A) =`(C 5 )−5 = 10−5 =95 Ème0 2 cas :A(−5,0) 0 Ce point est sur le segment[D 5 A 6 ](D 5 (−5,5), A 6 (−5,−6)) avecA A 6 = 6. 02 Ainsi`(A) =`(A 6 )−6 = 11−6 =115 . 2.B(2005,2006)est sur le segment[C 2006 D 2006 ]; en effet, on aC 2006 (2006,2006)etD 5 (−2006,2006)avecC 2006 B= 1. 2 Ainsi`(B) =`(C 2006 012 + ) + 1 = 4 1 =16 096 145 . 3. On cherche ici le pointCtel que`(C) = 2006. Or, la suite des nombres`(O) = 0,`(A 1 ) = 1,`(C 1 ) = 4,`(A 2 ) = 9, 2 2 `(C 2 ) = 16,. . .`(A n ) = (2n−1),`(C n ) = (2n)est la suite des carrs des entiers naturels (ou « carrs parfaits »). Il suffit donc d’encadrer 2006 par deux carrs parfaits successifs :

2 2 `(C 22 = 1936) = 44 <2006<=2025 = 45 `(A 23 ).

De plus,C 22 D 22 = 44donc

2 `(D 22 ) = 1936 + 44 = 1980<2006<=2025 = 45 `(A 23 ).

doncC∈[D 22 A 23 ]. ½ x=−22 =x=x C D 22 A 23 Enfin :2006−1980 = 26, donc w C =x D 22 −26 = 22−26 =−4 DoncC(-22,-4)a pour coordonnes

Solution 2 propose par l’acadmie de Caen.

Le texte ne prcise pas laquelle des deux droites passant parOdoit tre choisie comme axe des abscisses ; il existe donc deux possibilits. Le texte ne prcise pas non plus le sens des vecteurs de base ; il y a donc deux possibilits pour −→−→ chacun, ce qui donne huit repres(O, i , j) Dans les figures ci-dessous, la spirale est dessine en noir pais et les vecteurs de base en traits fins discontinus.

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On peut penser que l’orientation envisage par l’auteur du texte est l’orientation « classique » du repre (cas du repre R 1 ). Nous utiliserons ici le repre R 5 et en dduirons ensuite les rsultats dans tous les autres cas. Remarque : une rotation de la feuille d’un quart de tour dans le sens direct permet, dans ce cas, de retrouver une position « rassurante » du repre. * Appelons, pour toutn∈N 0 l A n le point de coordonnes(n, n),A n e point de coordonnes(−n,−n) C n le point de coordonnes(−n;n),B n le point de coordonnes(n,−n+ 1).

0 La spirale est forme des segments[OB],[B A]A, C ] 1 1 1 [A 1 C 1 ],[ 1 1 , 0 0 [B],[ A 1 2 B 2 A 2 ],[A 2 C 2 ],[C 2 A], . . . 2 0 0 [A B],[B A],[A C], . . . n−1 n n nn n [C n A n ], Les segments[OB 1 ]et[B 1 A 1 ]ont pour longueur 1 0 les segments[A 1 C 1 ]et[C 1 A]ont pour longueur 2, 1 0 les segments[A B 2 ]et[B 2 A 2 ]ont pour longueur 3, 1 0 les segments[A 2 C 2 ]et[C 2 A 2 ]ont pour longueur 4.

0 a pour coordonne A n−1 s(−(n−1),−(n−1)),B n a pour coordonnes(n,−(n−1)). 0 Le segment[A B n ]a donc pour longueurn−(−(n−1)) = 2n−1puisque n−1 0 Aont mme ordonne. n−1 etB n A n a pour coordonnes(n, n), le segment[B n A n ]a donc pour longueur n−(−(n−1)) = 2n−1puisqueB n etA n ont mme abscisse. C n ayant pour coordonnes(−n, n), le segment[A n C n ]a pour longueur n−(−n) = 2npuisqueA n etC n ont mme ordonne. 0 0 Aayant pour coordonnes(−n,−n), le segment[C n A]a pour longueur n n

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0 puisqueCon n−(−n) = 2n n etA n t mme abscisse.

* En consquence, pour toutn∈N,

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0 0 L(A)=OB+B A+A C+C A+B A+∙ ∙ ∙ n1 1 1 11 1 +A 1 B 22 2 1 0 0 +A B n +B n A n ∙ ∙ ∙+A n−1 C n−1 +C n−1 A n−1n−1 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 +∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ 2(n−1) + 2(n−1) + 2n−1 + 2n−1 2n−1 X (2n−1)2n = 2(1 + 2 + 3 +∙ ∙ ∙+ 2n−1) = 2i= 2 2 i=1 = 2n(2n−1) et 0 0 L(A)=L(A n ) +A n C n +C n A(n) = 2n(2n−1) + 2n+ 2n n = 2n(2n−1 + 2) = 2n(2n+ 1) 0 0 segment[Bd’extrmitsAde coordonnes(− LeA 1 n ] n−1 (n−1), n− −(n−1))etB n de coordonnes(n,−(n−1))est form de tous les points d’ordonne−(n−1)dont l’abscisse est comprise entre−(n−1)etn. Tous ces points sont des points de coordonnes(x, y)telles quey <0ety6x6−y+ 1, ce qui peut encore s’crire : y <0et|x|6−youx=−y+ 1(condition 1).

Le segment[B n A n ]d’extrmitsB n de coordonnes[n,−(n−1)]etA n de co- ordonnes(n, n)est form de tous les points d’abscissendont l’ordonne est comprise entre−(n−1)etn. Tous ces points sont des points de coordonnes (x, y)telles quex >0et−x6x−1ouy=x, ce qui peut encore s’crire : x >0et|y|6x−1ouy=x(condition 2).

Le segment[A n C n ]d’extrmitsA n de coordonnes(n, n)etC n de coordonnes (−n, n)est form de tous les points d’ordonnendont l’abscisse est comprise entre−netn. Tous ces points sont des points de coordonnes(x, y)telles que y >0et−y6x6y, ce qui peut s’crire : y >0et|x|6y(condition 3).

0 0 Le segme nt[C n A n ]d’extrmitsC n de coordonnes(−n;n)etAde coordon- n nes(−n,−n)est form de tous les points d’abscisse−ndont l’ordonne est comprise entre−netn. Tous ces points sont des points de coordonnes(x, y) telles quex <0et−x6y6x, ce qui peut encore s’crire x <0et|y|< x(condition 4).

Remarque : les quatre conditions mises en vidence ci-dessus correspondent Ā un partage du plan en quatre parties disjointes par des demi-droites comme le montre la figure ci-dessous.

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Ces considrations vont permettre maintenant de rpondre trs rapidement aux questions de l’exercice. Les rponses seront d’abord donnes dans le repre choisi puis, en fin de corrig, dans tous les repres possibles.

1. Un point de l’axe des abscisses tel queOA= 5a pour coordonnes, ou bien (5,0) ou bien (−5,0). •siAa pour coordonnes (5,0), comme5>0et|0|65, A∈[B 5 A 5 ]. OrL(A 5 ) = 10×9 = 90, doncL(A) =L(A 5 )−AA 5 = 90−5 = 85. •siAa pour coordonnes (−5,0), comme−5<0et|0|65, 0 A∈[C 5 A]. 5 0 OrL(A) = 10×11 = 110, 5 0 0 doncL(A) =L(A)−AA= 110−5 = 105. 5 5 2.Ba pour coordonnes (2005,2006). Comme 2006 > 0 et|2005|62006, B∈[A 2006 C 2006 ]. L(A 2006 = 2×2006(2×2006−1) = 16 092 132, doncL(B) =L(A 2006 ) +A 2006 B= 16 092 132 + 1 = 16 092 133.

3. Cherchons la plus grande valeur dentelle queL(A n )< L(C). 2 Cette ingalit quivaut Ā2n(2n−1)<2006ou Ā2n−n−1003<0(aprs division des deux membres par 2). √ 1±5 321 2 Le trinÔme2n−n−1003a pour racinesn=. 4 √ 1 + 5 321 ndevant tre positif, l’ingalit sera vrifie sin <. 4 √ 1 + 5 321 Or22,6< <22,7. Donc la plus grande valeur dencherche est 4 22.

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L(A 22 = 2×22(2×22−1) = 1892etA 22 C 22 = 2×22 = 44. Donc L(C 22 ) =L(A 22 + 44 = 1892 ) + 44 = 1936;qui est infrieur Ā 2006 C est « plus loin » sur la spirale. 0 0 = 44 ) =L(C)+44 = 1 C 22 A 22 . DoncL(A 22 22 936+44+1980qui est infrieur Ā 2006.Cest encore « plus loin » sur la spirale. 0 2 006−1 980 = 26qui est infrieur Ā 46 (longueur de[A 22 B 23 ]). 0 DoncC∈[A B 23 ]. 22 0 A; -22) donca pour coordonnes (-22 Ca pour coordonnes(−22 + 22 26 ;−22)soit(4 ;−22). 4. SoitMun point quelconque dans le plan Ā coordonnes entires(p, q). Pour suivre le raisonnement ci-dessous, on se reportera Ā la figure prcdente. •SiMest sur l’une des demi-droites, c’est ou le pointOou l’un des 0 , AouB, c’est do pointsA n , C nn n nc un des points de la spirale. •siMest dans la rgion bleue, la parallle Ā(Ox)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=xau point de coordonnes(q, q), c’est le pointA q (en effetq >0), et la droite d’quationy=−xau point de coordonnes(−q, q), c’est le pointC q . DoncM∈[A q C q ]. C’est un point de la spirale. •siMest dans la rgion jaune, la parallle Ā(Oy)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=−xau point de coordonnes(p,−p)c’est le pointC −p (en effetp <0) et la droite d’quationy=xau point de £ ¤ 0 0 . DoncM∈. C’est un coordonnes(p, p), c’est le pointA C −p A −p −p point de la spirale. •siMest dans la rgion rose, la parallle Ā(Ox)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=xau point de coordonnes(q, q), c’est le 0 pointA(en effetq <0) et la droite d’quationy=−x+1au point de −q £ ¤ 0 intB. DoncM∈A B coordonnes(−q+ 1, q), c’est le po −q+1 −q −q+1 . C’est un point de la spirale. •siMest dans la rgion verte, la parallle Ā(Oy)passant parM(p, q) coupe la droite d’quationy=−x+ 1au point de coordonnes (p,−p+1), c’est le pointB p (en effetp >0) et la droite d’quationy=x au point de coordonnes(p, p), c’est le pointA p . DoncM∈[B p A p ]. C’est un point de la spirale. La spirale passe donc bien par tous les points du plan Ā coordonnes entires.

Envisageons maintenant le cas des autres repres du plan. 1.SoitAle point de coordonnes (5,0) dans le repre R i oÙiest un nombre de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} Repre R 1 R 2 R 3 R 4 Coordonnes deAdans R i (0,5) (0,5) (0,-5) (0,-5) 0 0 Segment auquel appartientA[A C] [BA C [A B] 5 5 5 5 ] [A 5 6 ] 5 6 L(A)115 11595 95