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THESE
presentee au Laboratoire
Fluides, Automatiques et Systemes Thermiques
par
Marc LECONTE
Pour obtenir le titre de
Docteur de l’universite Denis Diderot Paris 7
(arr^ete du 30 mars 1992)
Specialite : Dynamique des Fluides et des Transferts
Propagation de front de reaction sous
ecoulement
Soutenue le 12 octobre 2004 devant le jury compose de MM.
COUDER Yves Examinateur
LIMAT Laurent Rapporteur
MARTIN Jer^ ome Co-directeur de these
POCHEAU Alain Rapporteur
SALIN Dominique Directeur de these
TRIZAC Emmanuel Examinateur Remerciements
Tout d’abord, je souhaite remercier Dominique Salin qui a encadre cette these. Je tiens
a lui faire part de ma reconnaissance pour tout ce que j’ai appris pendant ces trois annees.
Il a ete un chef exceptionnel.
Je remercie egalement Jer^ ome Martin et Nicole Rakototomalala pour leur parfait co-
encadrement et pour la bonne humeur qu’ils ont apportee chaque jour.
Un grand merci a Yannis Yortsos pour l’interet qu’il a bien voulu porter a mon travail ainsi
qu’ a John Bush pour m’avoir accueilli au MIT pendant deux mois et pour sa collaboration
sur les rebonds de gouttes.
Je suis tres reconnaissant a Laurent Limat et Alain Pocheau d’avoir accepte d’^etre les rap-
porteurs de cette these, et egalement a Yves Couder et Emmanuel Trizac de faire partie
de mon jury.
Il serait trop long d’exprimer mes remerciements a tous ceux qui ont contribue de pres
ou de loin au bon deroulement de ma these aussi, je souhaite que tous les membres du
laboratoire ...

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Langue Français
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THESE presentee au Laboratoire Fluides, Automatiques et Systemes Thermiques par Marc LECONTE Pour obtenir le titre de Docteur de l’universite Denis Diderot Paris 7 (arr^ete du 30 mars 1992) Specialite : Dynamique des Fluides et des Transferts Propagation de front de reaction sous ecoulement Soutenue le 12 octobre 2004 devant le jury compose de MM. COUDER Yves Examinateur LIMAT Laurent Rapporteur MARTIN Jer^ ome Co-directeur de these POCHEAU Alain Rapporteur SALIN Dominique Directeur de these TRIZAC Emmanuel Examinateur Remerciements Tout d’abord, je souhaite remercier Dominique Salin qui a encadre cette these. Je tiens a lui faire part de ma reconnaissance pour tout ce que j’ai appris pendant ces trois annees. Il a ete un chef exceptionnel. Je remercie egalement Jer^ ome Martin et Nicole Rakototomalala pour leur parfait co- encadrement et pour la bonne humeur qu’ils ont apportee chaque jour. Un grand merci a Yannis Yortsos pour l’interet qu’il a bien voulu porter a mon travail ainsi qu’ a John Bush pour m’avoir accueilli au MIT pendant deux mois et pour sa collaboration sur les rebonds de gouttes. Je suis tres reconnaissant a Laurent Limat et Alain Pocheau d’avoir accepte d’^etre les rap- porteurs de cette these, et egalement a Yves Couder et Emmanuel Trizac de faire partie de mon jury. Il serait trop long d’exprimer mes remerciements a tous ceux qui ont contribue de pres ou de loin au bon deroulement de ma these aussi, je souhaite que tous les membres du laboratoire sachent combien j’ai apprecie de travailler au FAST pendant ces trois annees. Je souhaite remercier plus particulierement Christian Frenois, Christian Saurine, Gerard Chauvin, Rafael Pidoux et plus recemment Alban Aubertin pour toute l’aide technique dont j’ai eu besoin au cours de ma these. Je souhaite egalement une bonne continuation a tous les thesards du FAST et plus parti- culierement a Laurent Talon qui soutient sous peu. Je n’oublie pas tous ceux que j’ai rencontres au cours de ma scolarite et qui m’ont trans- mis leur passion de la physique sous toutes ses formes : Marc Rabaud, Philippe Gondret, Patrice Jen er et toute l’equipe d’Yves Couder 1998. En n, je remercie Celine et ma famille pour le soutien qu’ils m’ont apporte tout au long de ma these. Table des matieres Introduction 9 1 Comportement d’un front chimique dans un ecoulement laminaire 15 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Caracteristiques d’un front de reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Ecoulement sous-jacent non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Propagation a 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Regime de melange : 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Regime eikonal : 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5 Propagation a 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 Front chimique dans un ecoulement stationnaire 41 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Dispositif experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Details sur la reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Caracteristiques du produit et du reactif . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.3 Mise en place du dispositif experimental . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Resultats experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Tubes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Cellules de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 2.4 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.1 Principe du modele B. G. K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.2 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3 E et de la dispersion sur un front de reaction 69 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Principes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Approche " a la Taylor" de l’equation d’Advection-Di usion-R eaction . . . 76 3.3.1 Correction de la vitesse de propagation chimique dans un ecoulement de Haagen-Poiseuille 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.2 Correction de la vitesse de propagation chimique dans un ecoulement sinuso dal en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 Simulations BGK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5 Transition vers le regime Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 Front chimique dans un ecoulement periodique temporel 101 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 Dispositif experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Resultats experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5 Determination theorique de la vitesse et de la largeur du front . . . . . . . 120 4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5 Front chimique dans un milieu poreux quasi-2D 131 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2 Dispositif experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3 Resultats experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3.1 Sans ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3.2 Avec ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Conclusion, perspectives 145 A Remarque sur la determination de la forme et de la vitesse d’un front de reaction dans le regime eikonal 151 B Calcul du champ de vitesses 3D oscillant en cellule de Hele-Shaw 157 C Determination de la vitesse instantanee d’un front de reaction soumis a un ecoulement oscillant 161 Bibliographie 168 Introduction Les deplacements d’interfaces via la propagation de fronts apparaissent dans de nom- breux domaines, chimie atmospherique, biologie, combustion, etc. Le point commun de l’ensemble de ces etudes provient des equations qui regissent leur modelisation. En e et, celles-ci sont tres proches ce qui implique que, sous certaines conditions, tous ces themes peuvent se reduire a un seul systeme equivalent et plus precisement en l’etude d’un certain type d’equation di erentielle appele systeme d’advection-di usion-r eaction. Des lors, on devine que la resolution ou l’etude d’un tel systeme dans un contexte particulier permet une transposition quasi-immediate a un autre domaine. Detaillons a present quelques do- maines qui, bien qu’en apparence tres eloignes, presentent de fortes similarites. On peut ainsi citer les travaux de Fisher [1] et de Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov [2] qui ont ete utilises dans de nombreux domaines bien que leurs applications aient ete d’abord reservees a la biologie. En chimie atmospherique, l’etude du trou d’ozone consiste a prevoir la forme et la vitesse de propagation de son contour, c’est- a-dire d’un front de reaction entre plusieurs especes chimiques, au cours du temps en fonction de nombreux parametres. Cet exemple tres complexe est pourtant de premiere importance pour l’environnement. Les mecanismes mis en jeu impliquent entre autres la reaction chimique entre plusieurs especes reactives (principalement ozone et chlore), les echanges thermiques entre les couches suc- cessives de l’atmosphere (en particulier entre la troposphere et la stratosphere), et la circu- lation a grande echelle des gaz dont les lignes de courant forment au-dessus de l’Arctique et de l’Antarctique un vortex polaire. Si l’etude du trou d’ozone est encore un sujet largement ouvert, il est possible de simpli er le probleme en ne s’interessant, par exemple, qu’ a sa chimie reactionnelle et au transport massif d’air autour des regions polaires. Ainsi, les seuls mecanismes restants sont une reaction chimique advectee par un ecoulement. En biologie, la description de l’evolution des populations, que ce soit de bacteries, mam- miferes ou poissons, necessite de modeliser l’interaction d’un groupe d’individus avec son environnement et en particulier avec des groupes d’individus di erents. Cette modelisation a fait l’objet de nombreux travaux precurseurs [1, 2]. Citons par exemple, l’etude du mathematicien Vito Volterra [3] qui, au debut des annees 1920 et a la demande d’un respon- sable du bureau de la p^eche italienne, propose un premier modele pour decrire l’evolution temporelle de la population de poissons comestibles et celle de poissons non comestibles (supposee se nourrir de la premiere). Nous pouvons alors constater qu’une prise en compte de l’in uence du deplacement des proies et des predateurs sur leur front de separation rappelle l’etude simpli ee evoquee plus haut sur le contour du trou d’ozone. En combustion, l’etude de la propagation de front de amme a fait l’objet de nombreuses recherches et notamment lorsque le reactif est lui-m^eme en mouvement [4, 5]. Toutefois, ce domaine se heurte a plusieurs di cult es de taille. En e et, pour des reactions dont la cinetique est tres rapide, sa caracterisation exacte n’est pas aisee. De plus, une trop grande vitesse de propagation du front ou une reaction fortement exothermique peut engendrer une discontinuite
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