17. L

17. L'équation de Dirac.

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  • exposé - matière potentielle : mécanique quantique
  • exposé
1 17. L'équation de Dirac. L'équation de Dirac est une équation relativiste à laquelle obéit la fonction d'onde des particules ayant un spin un demi, comme l'électron. Nous la présenterons très brièvement sous sa forme habituelle dans l'espace de Minkowski, puis nous généraliserons au cas où l'espace temps est une variété quelconque. Nous supposons que le lecteur est déjà familier des notions de base de la mécanique quantique.
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17. L’équation de Dirac.

L’équation de Dirac est une équation relativiste à laquelle obéit la fonction d’onde des
particules ayant un spin un demi, comme l’électron. Nous la présenterons très brièvement
sous sa forme habituelle dans l’espace de Minkowski, puis nous généraliserons au cas où
l’espace temps est une variété quelconque. Nous supposons que le lecteur est déjà familier des
notions de base de la mécanique quantique.
Ce chapitre permet de montrer, une fois de plus, la puissance de la méthode du repère mobile.
Cela permettra aussi de concrétiser la discussion du chapitre précédent avec un exemple plus
élaboré que celui du champ scalaire.


1. L’équation de Dirac en espace de Minkowski, en bref.

Dans cette section l’espace de Minkowski est muni de coordonnées cartésiennes
orthonormées.
En mécanique quantique, la fonction d’onde ! d’une particule de masse m obéit à l’équation
21de Schrödinger : i!!" =# ! $" + V" , où ! est le laplacien, V la fonction potentiel t 2 m
d’un champ externe tel que le champ électrique, != h / (2! ) et h est la constante de Planck.
Cette équation non relativiste est généralisée, soit en prenant l'équation du champ scalaire
complexe (16.23), soit en appliquant le principe de correspondance à la contrainte
2 2 2 2 4
E ! p c = m c :
E! i!" , p !# i!"
t i i
ce qui conduit, dans les deux cas, à l’équation de Klein-Gordon pour la fonction d’onde d’une
particule libre :
2 2 2 2 2 4 !! "# +! c $# = m c #
t
Désormais, pour simplifier les notations, nous choisirons le système d’unité tel que :
!= 1 , c= 1
Comme il ne s’agit pas ici de refaire un exposé de mécanique quantique, nous dirons
simplement, sans justification, que Dirac a voulu obtenir un équation linéaire du premier
degré pour l’opérateur i! et il a posé, pour une particule libre :
t
" i! # $ = m$ (1)
"
Pour retrouver l’équation de Klein-Gordon, on applique l’opérateur de gauche à lui même, ce
qui implique la contrainte :
" # # " "# ! ! +! ! = 2$ (2)
"Quand ! "# les ! ne peuvent être des nombres ordinaires. Ce sont des matrices appelées
matrices de Dirac. ! n’est donc plus un simple nombre complexe mais possède, dans le cas
de l’espace-temps à quatre dimensions quatre composantes. En physique, ! est appelé un
spineur, et est représenté par un vecteur colonne :
1" %!
$ '
! = ! $ '
d$ '!# &
1 n
2Si l’espace temps a n dimensions, ! a d = 2 composantes si la dimension de l’espace
n!1
2temps est paire et d = 2 si n est impair.

A priori l’expression exacte des matrices de Dirac importe peu, et il existe plusieurs
ensembles satisfaisant la relation (2) équivalents entre eux. Nous donnerons, pour le cas de
! = (+1,"1,"1,"1)l’espace de Minkowski à quatre dimensions, et , la représentation de ab
Weyl comme exemple :
i" % " %0 I 0 (0 i ! = , ! = , i= 1,2, 3 (3) $ ' $ i '# I 0& #)( 0 &
ioù les ! sont les matrices de Pauli :
" 0 1% " 0 (i% " 1 0 %1 2 3 ! = , ! = , ! = (4) $ ' $ ' $ '# 1 0& # i 0 & # 0 (1&

i 2 i j j iqui vérifient : (! ) = I , ! ! +! ! = 0 , i" j

On vérifie aisément que ces matrices satisfont les contraintes (2). On trouvera un exposé
beaucoup plus complet des propriétés des matrices de Dirac dans [Magneville-Pansart].

Bien que la représentation des matrices de Dirac importe peu, dans la plupart des cas, la
contrainte suivante est importante. En mécanique quantique l’évolution de la fonction d’onde
est décrite par une équation de genre i!!" = H" où H est l’opérateur hamiltonien qui est t
+ + 3hermitique ( H = H ) afin d’assurer la conservation des probabilités (! "# # d x = 0 ). t
Dans le cas de l’équation de Dirac cela implique les contraintes :
0+ 0 0 i + 0 i ! = ! , (! ! ) = ! ! (5)




Exercice 1.
Montrer, en utilisant uniquement (2), c’est à dire sans utiliser une représentation explicite de
a b1matrices de Dirac telle que (4), que les éléments de la forme : ! ! , a " b satisfont les
2
relations de commutation de l’algèbre de Lie du groupe des rotations.

Exercice 2.
D 0 1 n"1 D 0 1 2 3 DOn pose ! =! ! ...! . Par exemple si n= 4 , ! = ! ! ! ! . Montrer que !
aanticommute avec tous les ! si n est pair et commute avec ces derniers si n est impair.

Note :
aLes matrices ! de Dirac constituent une représentation matricielle de l’algèbre de Clifford.
Pour définir l’algèbre de Clifford, on part d’un espace vectoriel M , sur un corps commutatif
K , muni d’un produit scalaire g . On construit un produit associatif (ici noté! ) qui vérifie ! ! ! ! ! ! ! !
pour tous les éléments a et b de M : a! b+ b! a= 2g(a,b) . L’algèbre est notée C( M,g) .
2 !!"
µA chaque élément de base e de M on associe un élément de base e de l’algèbre avec la µ !!" !!"
µ ! ! µrestriction e e + e e = 2 g(e ,e ) . On construit une base de l’algèbre en considérant tous
µ !
µ "eles produits de . Les matrices ! sont une représentation matricielle des éléments abstraits
!e .
Pour continuer sur ce sujet voir [Magneville-Pansart].


2. Généralisation à un espace quelconque.

La présentation précédente se référant à des coordonnées cartésiennes, on va essayer de se
rapporter à une famille de repères mobiles orthonormés.
nSoit une variété V dans laquelle on a défini une famille de repères mobiles orthonormés
! nh . Tout voisinage d’un point M quelconque étant difféomorphe à une boule de ! , on { }a
aaimerait écrire une équation du genre : i! " # ! m# . D’autre part ! # est un vecteur
a "
a "covariant, on est donc tenté d’écrire : i! h # $ ! m$ . Afin de conserver le caractère
a "
linéaire de l’équation de Dirac nous poserons :
a " i! h (# $ +% $ )= m$ (6)
a " "
a noù les ! sont dans une représentation de l’algèbre de Clifford de ! (muni de sa métrique)
et où il faut déterminer les ! .
"

La forme de l’équation (6) ne doit pas dépendre du choix de la famille de repères mobiles.
! !Soit donc une autre famille f de repères mobiles orthonormés. Soient v les { } a
acomposantes d’un champ de vecteurs sur la première et v' ses composantes dans cette
seconde famille.
Le passage de l’une à l’autre se fait par des matrices de rotation : !!" !!"
a a b !1b v = A (x)v' , h = A f
.b a .a b
et la fonction d’onde se transforme par : ! ="! ' (7)
!où ! ' est exprimé par rapport aux vecteurs f et où il faut déterminer l’opérateur! . { }a

a "Posons : D " =# " +$ " , on a i! h D # = m# et on veut pouvoir écrire :
! ! ! a "
a "i! f D' # '= m# ' . La première de ces deux équations est :
a "
a " &1 a " &1 &1 i! h D (#$ ')= m#$ ' % i# ! # h (' +# ' #+# ( #)$ '= m$ '
a " a " " "
l’équation de Dirac sera invariante de forme si :
"1 a $ b $ b a $ ! # ! h =# f =# A h qui donne la première condition :
a b b a
"1 a b a ! # !=# A (8a)
b
"1 "1et si : ! # !+! % !=% ' (8b)
$ $ $
Cette seconde condition est équivalente à exiger :
D" =# D' " ' (8c)
! !
3
Les conditions (8a) et (8b) peuvent être combinées en dérivant la première :
$1 a b a $1 $1 a $1 a $1 b a ! (# % #)=% ! A & ! # ## % #+# % ## ! #=% ! A
" " b " " " b
$1 $1et avec : ! # #=$# ! # , on obtient la condition :
" "
c #1 #1 c a b& ( ! ," $ " =( A ) $ A ! (8d)
% a % b' )

Exercice 3.
DMontrer que ! commute avec ! .


"1Nous simplifierons la discussion en admettant que ! # ! appartient à une représentation de
$
l’algèbre de Lie du groupe des rotations, et pareillement pour ! .
"
Dans la suite nous écrirons l’équation de Dirac sous la forme :
a " i! h (# +$ + B )% = m% (9)
a " " "
Doù B commute avec! . B est de la forme : aI + b! .
! !

Compte tenu de ce qui a été dit à la section 16.3 et de l’exercice 1, on pose :
c d1 ! = ! # # (10)
" 4 cd"
En remplaçant dans (8b) on obtient :
"1 c d "1 c "1 d1 1 ! # != % ' & & " % ! & !! & !
$ 4 cd$ 4 cd$
"1 c d e f1! # != (% ' "% A A )& &et avec (8a) : $ e f$ cd$ e f4
"1 "1c d e f1enfin avec la transformation des connexions (9.8) et (A.1) : ! # != % A # A & &
$ 4 ce d $ f
et l’on vérifie, en utilisant (A.1) et
c d a ad c ac d" $ ! ! ,! = 2& ! ' 2& ! (11) # %
que la condition (8d) est satisfaite par le choix (10).

+En mécanique quantique la quantité ! ! est la densité de probabilité. Elle satisfait une
équation de conservation du type de (16.25), signifiant simplement que la probabilité totale
est conservée. De même, on va chercher à construire un courant dont la composante
temporelle sera la densité de probabilité. Considérons le courant :
! ! + 0 aJ = h " # # " a
qui est la généralisation naturelle du courant construit dans le cas de l’espace de Minkowski.
On veut que ce courant se transforme comme un vecteur par les transformations (7) :
! ! + + 0 a ! + + 0 %1 a ! a + + 0 b J = h " ' # $ $ #" '= h " ' # $ ## $ #" '= h A " ' # $ #$ " '
a a a b
! ! + + 0 bdonc : J = f " ' # $ #$ " '
b
+ 0 0On voudrait donc avoir : ! " !=" (12)
+ 0+ 0+ 0+ 0Notons que le conjugué hermitique de cette contrainte est : ! " !=" or ! = ! .
D’après l’exercice (1), une rotation infinitésimale des repères mobiles s’écrira :
a b1 != I + " # # , a$ b , " = %" , " ! 1 (13)
4 ab ab ba ab
4 c d + 0 a b 01 1D’où : (I + ! " " ) " (I + ! " " )= "
2 cd 2 ab
0 d+ 0 0 c+ 0 c dEt donc : (! ! ! )(! ! ! )+! ! = 0 , c " d
!JLe courant se transformera comme un vecteur si les matrices de Dirac satisfont les
contraintes :
0+ 0 0 i+ 0 i ! =! , ! ! ! =! , 1" i" n# 1 (14)
qui sont les contraintes (5). La quantité que nous avons appelé courant, se transforme donc
comme un vecteur.
On pose, en notations standards :
+ 0 ! =! "
! ! aJ = h "# "d’où le courant s’écrit : (15) a

Exercice 4.
## p1Montrer que toute quantité de la forme !" ..." ! se transforme comme un tenseur par
rotation des repères mobiles.


Nous devons maintenant nous assurer que le courant (15) satisfait bien une équation de
conservation. Calculons :
1 1" " " a " a + 0 " a ! (J g )= J ! g +! h J + (h # ! $ ) # $ +$ (h # ! $ )
" " " a a " a "
g g

(n"1)(n"2)
D + D2et en utilisant l’équation de Dirac (9), (14) et (! ) = ("1) ! :
1 1" " " a " 1 c d a& (! (J g )= J ! g +! h J + h # $ % % ,% $
" " " a a cd"4 ' )
g g

n(n*1)+ .
" + a + D a2* h $ (a+ a )% * (b+ (*1) b )% % $- 0a
, /


a $ a c $ $ !on utilise les équations (9.9) et (14) : ! " h =! (% h &% h ) (16)
# a .a# c .!# a
et les équations (12.6), et finalement il reste :
n(n#1)' *1 " " + % a + D a2 ! (J g )= #h $ (a+ a + 2 S )& # (b+ (#1) b )& & $
" a ) ."% ,
( +g

n(n!1)
! + " + 2Le courant J est conservé si a+ a + 2S = 0 et si b =!(!1) b . .!"

Notons qu’en utilisant (11), et ! =#! (repères mobiles orthonormés), (16) est
cd" d c"
équivalent à :
a $ $ b $ ! a& ( ! " h = h ! ,% *% (h ! ) (17)
# a b # .!# a' )

5 a b= 0La solution la plus simple est de choisir réel et , ce que nous ne justifierons pas ici, et
donc l’équation de Dirac d’une particule libre est :
a " i! h (# +$ % S )& = m& (18)
a " " "
et le courant associé conservé est donné par (15).


3. Lagrangien pour le champ de spineur.

L’équation de Dirac peut être déduite du lagrangien :
1 " a " a + L= (! h # iD ! + (! h # iD ! ) )$ m!! (19)
2 a " a "
où D" est la dérivée covariante introduite au chapitre 16 ((16.12), (16.28), (16.34)) et qui
!
est en incluant les champs de jauge :
c d x1 D " =# " + $ % % " + W X " (20)
! ! 4 cd! ! x
A partir du moment où l’on inclut les champs de jauge, ! est en fait un multiplet de spineur.
Le lagrangien L est invariant par rotation des repères mobiles, par changement de
coordonnées et par transformation de jauge.
Pour établir les équations du mouvement nous considérerons ! et ! comme des champs
indépendants. Les équations d’Euler Lagrange donnent directement :
a " x i! h (# +$ % S + W X )& = m& (21)
a " " " " x
+où on a utilisé X =! X d’après la section B.3.
x x
Le courant (15) est la conséquence de l’invariance du lagrangien par la transformation :
i# !" e !


Exercice 5.
# %Calculer le commutateur où D est défini par (20) et comparer à (9.23). D , D !! "$ &


4. Tenseur de Spin et tenseur d’énergie impulsion.

D’après (16.18) le tenseur de spin du champ de spineur est :
ab" " c a b a b c1 iS = h (!# # # ! +!# # # ! ) (22) ! c2 4
mais nous aurions aussi bien pu utiliser directement le théorème de Noether. Dans ce cas, lors
d’une rotation infinitésimales des repères mobiles (7) , en utilisant (13) :
1 a b !" =" '#" = # $ % % "
ab4
il suffit ensuite d’appliquer les résultats de la section 16.3.


Le tenseur d’énergie impulsion du champ de spineur se déduit immédiatement de (16.17). Il
n’est pas symétrique
#La a 1 a a + T = $ L h = (! % iD ! + (! % iD ! ) ) (23)
! ." " " "" 2#h
a
6 où D est donné par (20).
!
On peut vérifier directement que les équations (16.19) et (16.22) sont satisfaites.



5. Transport parallèle d’un spineur.

Un spineur est défini par rapport à une famille de repères mobiles orthonormés. Si le repère
en M est transporté parallèlement à lui même en M ' (très voisin de M ) , ! restera lui !!"
même dans ce repère par transport parallèle. D’après (9.1) le transporté parallèle de h ( M )
a
est : !!" !!" !!"
b h' ( M ')= h ( M ')!" ( M, M ') h ( M ') (24)
a a .a b !!"
Pour calculer le transporté parallèle de ! par rapport au repère h ( M ') il faut effectuer { }a

une rotation (les repères mobiles sont orthonormés, par hypothèse). Nous appellerons ! '( M ')
le spineur exprimé dans cette dernière base. Soit S la rotation : ! '( M ')= S! ( M ) . Par !!" !!" !!" !!"
!1S ! h' ( M ') h h ( M ') frapport aux relations (7), joue le rôle de , celui de et celui de . a a b b
Donc, d’après (24), avec les notations de (7) : !!" !!"
!1b !1b b bh' ( M ')= A h ( M ') , A =" !# a a b a a .a
!1 b !1b a b b aet d’après les relations (8a) on doit avoir : S " S = A " = (# !$ )"
a a .a
1 c dqui est satisfait, compte tenu de (13), si : S = I ! " # # et donc :
cd4
% 1 (c d ! '( M ')= I " # $ $ ! ( M ) (25)
cd' *& 4 )


Dans le transport parallèle le spineur subit donc une variation de ses composantes (par rapport
à la famille de repères orthonormés) :
$! '( M ')"! ( M ')=! '( M ')"! ( M )"# ! dx
$
(26) ' *1 c d $ $= " # + % & & ! dx = "D ! dx
$ cd$ $) ,4( +
où apparaît la dérivation covariante des spineurs définie précédemment en (20). Si ! était un
multiplet appartenant à une représentation d’un groupe de jauge, on retrouverait la dérivation
covariante (20).


Soit un chemin ! , joignant deux points A et B , paramétré par l’abscisse curviligne t , le
long duquel on transport par parallélisme le spineur ! ( A) jusqu’au point B . D’après (25) on
1$ c d! (t+ dt)= (I "# dx )! (t) , # = # % %a : $ $ cd$4
Cette équation a pour solution une exponentielle ordonnée que nous noterons exp :
$ ! (B)= exp(" # dx )! ( A) (27)
$&%
7 !où, en appelant t (t) le vecteur tangent à ! à l’abscisse t :
t t t
2 2# # # &exp(! " dx )= I ! " t dt+ " (t)t (t)dt " (t ')t (t ') dt '% # % # % # % &$ t t t
1 1 1
t t t '2 # & $! " (t)t (t) dt " (t ')t (t ') dt ' " (t '')t (t '') dt ''+ ...% # % & % $t t t1 1 1
Comment se transforme (27) lors d’un changement des repères mobiles ?
" #1 #1En posant : !=! dx , (8b) s’écrit : !="! '" # d""
"
!1 !1 !1 !1Donc : I!" =I!#" '# + (#(t+ dt)!#(t))# =!#" '# +#(t+ dt)# (t)
Ce que nous pouvons re écrire au premier ordre :
!1 I!" =#(t+ dt) (I!" ')# (t)
En divisant l’intervalle AB en morceaux infinitésimaux étiquetés par ! ,! , ... ,! ,! , ... et 0 1 i i+1
avec : ! (" )= (I #$(" )) (I #$(" )) ... (I #$(" ))! ( A)
i i#1 i#2 0
# ( !1On aura : exp(! " dx )= &(B)' exp(! " ' dx )'& ( A) (28) % # % ($ $
Ceci était attendu puisque :
% ! (B)= "(B)! '(B)= "(B) exp(# $ ' dx )! '( A) ' %&
$ $mais aussi : ! (B)=exp(" # dx )! ( A)=exp(" # dx )'( A)! '( A) & $ & $% %
La relation (28) montre comment l’exponentielle ordonnée change par transformation des
repères mobiles.

A la section 9.8 le tenseur de courbure a été obtenu en considérant le transport parallèle d’un
vecteur le long d’un circuit infinitésimal fermé. Qu’en est il si à la place d’un vecteur on
transporte un spineur parallèlement à lui même le long d’un tel circuit ?
En reprenant les notations de la section 9.8. On a :
$ %! (B)= (I"# dx )! ( A) , ! (C)= (I"# (B) dy )! (B) $ 1 %
on fait la même chose en passant par D et on obtient en restant au second ordre :
% '!" =" (C)#" (C)=($ & #$ & +(& ,& *)dx dy "(A) 2 1 % ' ' % % ') +
Compte tenu du résultat de l’exercice 1, on obtient :
a b% %1 # $ !" = R " dx & dx
ab#$2 2
qui, comme dans le cas d’un vecteur transporté par parallélisme, est une rotation.


6. Equation du deuxième degré

L’équation du deuxième degré peut s’obtenir en appliquant l’opérateur (21) à lui même. Cette
formulation plus complexe présente un avantage important que nous nous contentons de citer
ci-après, en renvoyant le lecteur à [Petroni et al.].
Dans les théories de jauge, l’électromagnétisme est la théorie de jauge associée au groupe
i# ( x)U (1) , car les transformations de jauge sont de la forme : !" e ! . Le groupe n’a qu’un
i! ( x)seul paramètre et U = e est unitaire. Avec l’équation de Dirac linéaire il n’y a pas de
différence entre le courant de probabilité (15) et le courant associé au champ
électromagnétique par le théorème de Noether. Au contraire, avec l’équation de second degré,
8 on peut dissocier les deux, ce qui est important lorsqu’on applique l’opération de conjugaison
de charge (qui fait passer des particules aux antiparticules).


7. Equation de Dirac-Kahler, produit de Clifford.

Il existe une formulation en termes de formes différentielles de l’équation de Dirac, c’est
l’équation de Dirac-Kahler. Cette section introduit cette formulation et la notion de produit de
Clifford pour les formes, mais le sujet ne sera pas développé. De plus, nous ne considérerons
que le cas pseudo euclidien et des coordonnées cartésiennes.
2Au chapitre 6 le laplacien a été défini par : ! = d" +"d = ±(d ±" ) et dans la première
section de ce chapitre, l’équation de Dirac a été obtenue en prenant la racine carrée du
Laplacien. On est donc amené à chercher une forme satisfaisant : !
(d!" )# = ± im#
L’opérateur d augmente le degré de ! d’une unité et l’opérateur ! le diminue d’une unité.
Donc ! ne peut être une forme de degré déterminé.
Pour une forme ! quelconque, on a, avec la définition (6.1) et la relation (6.14) :
$ !" =# i % "
$
Cette relation n’est vraie que dans le cas des coordonnées cartésiennes.
$ $Dans ce cas : (d!" )# = (dx %+i )& #
$
!Nous définirons le produit de Clifford de dx et de la forme quelconque ! par :
! ! ! dx "# = (dx $+i )# (29)

"Cette définition appliquée à ! = dx entraîne :
! # # ! !# dx " dx + dx " dx = 2$ (30)
qui est l’analogue de (2).

Appliquons deux fois de suite le produit de Clifford (29) pour ! "# , en explicitant on
constate que :
! # ! # # ! # #dx "(dx "$)= dx % dx %$&' i (dx % dx )% i $
##

! ! # ! ! # ! # ! #&' i (dx % dx )% i $&' ' i i (dx % dx )% i i $
!! !! ##
On peut poursuivre la construction par itération en imposant l’associativité du produit de
! # ! #Clifford : dx "(dx "$)= (dx " dx )"$ (31)
! !m 1 mEn posant : dx = dx "..." dx , i = i ... i i , on vérifie que
h ! ! ! h 2 1
n
h$ & m1 degré i dxm h m h% 2' h dx !" = (#1) ((#1) ) i dx ) i " (32) ( hh!h=0
! h$ h
où désigne la partie entière de , satisfait la condition d’associativité du produit de # &
2 2" %
Clifford, à savoir :
! m ! m dx "(dx "#)= (dx " dx )"#

Enfin en utilisant plusieurs fois de suite ces propriétés on obtient :
9 n h% '1 degré i ! h h& 2( h ! "# = ($1) (($1) ) i! * i # (33a) ) hh!h=0
qui satisfait l’associativité du produit de Clifford :

! "(#"$)= (! "#)"$ (33b)

$Revenons à l’équation de Dirac écrite sous la forme : (d!" )# = dx %& # =!i m# . Nous
$
avons dit que la forme ! ne pouvait être une forme de degré déterminé. Posons donc :
" " #! =! +! dx +! dx $ dx + ... 0 " "#
nqui est formée de 2 termes.
Nous admettrons qu’il existe une transformation linéaire qui permette d’exprimer ! en
afonction des spineurs ! , où a est la a ième composante du b ième spineur : (b)
(b) a ! = Z " (34) # a (b)
a,b
(b)et où : Z est une forme différentielle à coefficients constants.
a
Pour pouvoir reproduire l’équation de Dirac, la condition que doit satisfaire cette forme est :
! (b) a (b) ! c adx " Z # $ = Z (% ) # $ où les signes de sommation sur a,b,c ont été omis dans
a ! (b) c a ! (b)
chaque membre. Si on peut trouver une solution à :
! (b) (b) ! c dx " Z = Z (# )
a c a
la condition sera satisfaite. Il est assez facile de vérifier qu’une solution est :
" %hn $ ' 12 h# &Z = (!1) ) dx (35) ( hh!h=0
! $h! !h 1 hoù comme précédemment : dx = dx "..." dx , ! =! ...! , et est la partie
h " " # & 1 h 2" %
h
entière de .
2
Inversement connaissant la forme ! , il est possible de retrouver les spineurs grâce à la
relation :
" % " %h nn $ ' $ '
2 j h k 2 j k# & # &(!1) () ) () ) = 2 * * ( h i l l i
h=0
que nous ne démontrerons pas ici.





Exercice 1.
ab 1 a bPosons R = ! ! , a " b et calculons :
2
ab cd 1 a b c d 1 a b c d c d a b! # ! # R , R = % % ,% % = (% % % % &% % % % ) " $ 4 " $ 4
c d a bIl faut permuter, à l’aide des relations (2), ! ! et ! ! dans le deuxième terme du membre
de droite :
10