C:/Documents and Settings/Denis/Mes documents/Tex-Txt/PLC1/pb_cauchy.dvi

C:/Documents and Settings/Denis/Mes documents/Tex-Txt/PLC1/pb_cauchy.dvi

Documents
8 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

  • exposé
Le problème de Cauchy Denis Vekemans ∗ Dans cet exposé, [a, b] est un segment de R. Soit f une fonction de R × R dans R et soit y une fonction de R dans R, différentiable. On appelle équation différentielle du premier ordre la relation dy dx = f(x, y(x)). On dit que y est solution de cette équation différentielle sur [a, b] si y vérifie la relation précédente pour tout x de [a, b].
  • donnée yn
  • lim h→0 max
  • kutta
  • y1 −
  • détermination de φ
  • y0
  • equations différentielles
  • équation différentielle
  • équations différentielles
  • solution
  • solutions
  • conditions
  • condition
  • méthodes
  • méthode

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 18
Signaler un problème
Le
problème
de
Cauchy
Denis Vekemans
Dans cet exposé,[a, b]est un segment deR. Soitfune fonction deR×RdansRet soityune fonction deRdansR, différentiable. On appelle équation différentielle du premier ordre la relation dy =f(x, y(x)). dx On dit queyest solution de cette équation différentielle sur[a, b]siyvérifie la relation précédente pour toutxde[a, b]. Etant donnéy0R, on appelle problème de Cauchy le système suivant ( dy =f(x, y(x)) dx . y(a) =y0
On noteC([a, b])l’espace des fonctions définies et continues sur[a, b].
Théorème 1 Sif∈ C([a, b])et sifvérifie la condition (dite de Lipschitz)
x[a, b],y∈ C([a, b]),z∈ C([a, b]),L >0tel que|f(x, y(x))f(x, z(x))| ≤L|y(x)z(x)|,
alors, le problème de Cauchy admet une solution et une seule sur[a, b](et ceci pour touty0R).
Démonstration Unicité Si le problème de Cauchy admet une solutiony, cette solution vérifie Z x x[a, b], y(x) =y0+f(t, y(t))dt. a Supposons qu’il existe deux solutionsyetzà ce même problème de Cauchy. R R x x Dex[a, b], y(x) =y0+f(t, y(t))dtetx[a, b], z(x) =y0+f(t, z(t))dt, nous obtenons a a facilement, Z x x[a, b], y(x)z(x) =f(t, y(t))f(t, z(t))dt. a Or,fvérifie une condition de Lipschitz, d’où Z x x[a, b],|y(x)z(x)| ≤L|y(t)z(t)|dtL||yz|||xa|, a Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
1
PLC1
Le problème de Cauchy
||ω||= sup|ω(x)|, pourω∈ C([a, b]). x[a,b] Ainsi, par récurrence, n |xa| n x[a, b],|y(x)z(x)| ≤L||yz||. n! En faisant tendrenvers l’infini, on obtientx[a, b],|y(x)z(x)| ≤0, puisy=z. Existence (itérations de Picard) On définit la suite de fonctions(yk)telle que ( y0(x) =y0 R. x yk+1(x) =y0+f(t, yk(t))dt a Par définition,yk∈ C([a, b]). Ainsi, Z x x[a, b], yk+1(x)yk(x) =f(t, yk(t))f(t, yk1(t))dt. a Or,fvérifie une condition de Lipschitz, d’où Z x x[a, b],|yk+1(x)yk(x)| ≤L|yk(t)yk1(t)|dtL||ykyk1|||xa|. a Puis, par récurrence,
k k |xa| |ba| k k x[a, b],|yk+1(x)yk(x)| ≤L||y1y0||L||y1y0||. k!k! Ensuite, comme(k+i)!k!i!,
2006
p1 k i X |ba| |ba| k i x[a, b],|yk+p(x)yk(x)| ≤L||y1y0||L . k!i! i=0 P i p1|ba| i L|ba| Or,Le, donc i=0i! k |ba| k L|ba| x[a, b],|yk+p(x)yk(x)| ≤L||y1y0||e . k! Il s’ensuit que(yk)est de Cauchy dansC([a, b]), donc(yk)converge uniformément versydeC([a, b]). De plus, la limiteysatisfait Z x x[a, b], y(x) =y0+f(t, y(t))dt. a Remarque sur l’importance de la condition de LipschitzSoit le problème de Cauchy ( 2 dy = 3y 3 dx . y(0) = 0
3 La condition de Lipschitz n’est pas vérifiée au voisinage de0.y(x) =xest solution sur[0,1], ety(x) = 0 est solution sur[0,1]également. Méthodes numériques pour résoudre le problème de Cauchy. Dans la suite de l’exposé, la fonctionfsatisfait les conditions du théorème 1.
–2/8–
Mathématiques
PLC1
Le problème de Cauchy
2006
Soitxnune abscisse, on notera alorsy(xn)la valeur théorique de la fonctionyévaluée enxnetynsa valeur approchée. Méthodes à pas séparés Ces méthodes sont du type x0=a xn+1=xn+h ba h=, n y0est la condition initiale donnée yn+1=yn+hΦ(xn, yn, h)
pour lesquelles il faut déterminer une fonctionΦcontinue candidate. La détermination deΦest réalisée en fonction de quatre notions ... 1. La consistance La méthode est consistante avec l’équation différentielle si   1 lim max (y(xn+1)y(xn))Φ(xn, y(xn), h0) = , n h0h
poury∈ C([a, b])solution de l’équation différentielle.
Théorème 2 Une condition nécessaire et suffisante pour que la méthode soit consistante avec l’équation différentielle est
x[a, b],y∈ C([a, b]),Φ(x, y,0) =f(x, y).
Démonstration Condition nécessaire La méthode est consistante, donc   1 lim max (y(xm+1)y(xm))Φ(xm, y(xm), h) = 0, h0mh ou encore  Z xm+1 1 lim maxf(t, y(t))dtΦ(xm, y(xm), h0) = . m h0h xm Pour toutx[a, b], il existe un encadrement[xm, xm+1]tel que, même lorsquehtend vers0(i.e. lorsque ntend vers l’infini),x[xm, xm+1]. Dans ces conditions,limh0xm=xetlimh0xm+1=x. La continuité des fonctionsfetφpermet alors d’écrire  Z xm+1 1 lim maxf(t, y(t))dtΦ(xm, y(xm), h) =f(x, y(x))Φ(x, y(x),0) = 0. h h0m xm
Condition suffisante
–3/8–
Mathématiques
PLC1
Le problème de Cauchy
Def(x, y(x)) = Φ(x, y(x),0), il vient
Et, d’après la continuité deΦ,
puis
2. La stabilité Soit(yn)solution de
=
=
=
1 (y(xn+1y(xn))Φ(xn, y(xn), h) h Z xn+1 1 f(t, y(t))dtΦ(xn, y(xn), h) h xn Z xn+1 1 (f(t, y(t))Φ(xn, y(xn), h))dt h xn Z xn+1 1 (Φ(t, y(t),0)Φ(xn, y(xn), h))dt h xn
lim max (Φ(t, y(t),0)Φ(xn, y(xn), h)) = 0, h0n
 Z xn+1 1 lim maxf(t, y(t))dtΦ(xn, y(xn), h) = 0. h h0n xn
( y0est la condition initiale donnée yn+1=yn+hΦ(xn, yn, h)
,
2006
et(zn)solution de ( z0est la condition initiale donnée . zn+1=zn+h(Φ(xn, zn, h) +εn) La méthode est stable siM1,M2indépendants deh,tels quemaxn|ynzn| ≤M1|y0z0|+M2maxn|εn|.
Théorème 3 SiΦvérifie la condition (dite de Lipschitz)
pourhsuffisemment petit,x[a, b],y∈ C([a, b]),z∈ C([a, b]),
M >0tel que|Φ(x, y(x), h)Φ(x, z(x), h)| ≤M|y(x)z(x)|,
alors la méthode est stable.
Démonstration
Mest une constante indépendante deh,
|yn+1zn+1| ≤ |ynzn|+h|Φ(xn, yn, h)Φ(xn, zn, h)|+h|εn| ≤(1 +hM)|ynzn|+h|εn|.
Ainsi, par récurrence,
n+1 (1 +hM)1 n+1 |yn+1zn+1| ≤(1 +hM)|y0z0|+ max|εn|. n M
–4/8–
Mathématiques
PLC1
Le problème de Cauchy
2006
D’où (n+1)hM(ba)M e1e1 (n+1)hM(ba)M |yn+1zn+1| ≤e|y0z0|+ max|εn| ≤e|y0z0|+ max|εn|. n| {z } n M M | {z } =M1 =M2
3. La convergence. La méthode est convergente si
lim max|yny(xn)|= 0. h0n
Théorème 4 Si la méthode est stable et consistante, elle est convergente.
Démonstration La solutionyde l’équation différentielle vérifie
y(xn+1) =y(xn) +h(Φ(xn, y(xn), h) +|εn|)
ety(a) =y0, aveclimh0maxn|εn|= 0, par définition de la consistance. Puis, par stabilité,
M1,M2indépendants deh,tels quemax|yny(xn)| ≤M1|y0y(a)|+M2max|εn|. | {z } n n =0
D’où la convergence en faisant tendrehvers0. 4. L’ordre de convergence. La méthode est convergente d’ordrepsi   1 p max (y(xn+1)y(xn))Φ(xn, y(xn), h) =O(h). n h
Théorème 5 Si la méthode est convergente d’ordrep, et si la fonctionΦsatisfait la condition (dite de Lipschitz),
alors,
pourhsuffisemment petit,x[a, b],y∈ C([a, b]),z∈ C([a, b]),
M >0tel que|Φ(x, y(x), h)Φ(x, z(x), h)| ≤M|y(x)z(x)|,
Mest une constante indépendante deh,
p max|yny(xn)|=O(h). n
Démonstration Z xn+1 y(xn+1)y(xn) =f(t, y(t))dt. xn Par ailleurs,yn+1yn=hΦ(xn, yn, h).
–5/8–
Mathématiques
PLC1
Le problème de Cauchy
Soiten=yny(xn). Alors  Z xn+1 1 en+1en=hΦ(xn, yn, h)f(t, y(t))dt . h xn Ou encore,  Z xn+1 1 en+1=en+h(Φ(xn, yn, h)Φ(xn, y(xn), h)) +hΦ(xn, y(xn), h)f(t, y(t))dt . h xn
D’où
Puis,
p+1 |en+1| ≤ |en|+h M|en|+Kh . | {z } | {z } car la méthode est d’ordrep carΦest de Lipschitz
Ainsi, par récurrence,
Puis,
p+1 |en+1| ≤(1 +hM)|en|+Kh .
  K n+1p |en| ≤(1 +hM)1h . M
  K (ba)M p p |en| ≤e1h=O(h). M
–6/8–
2006
Mathématiques