Colle N°02: Nombres complexes et trigonométrie

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S02 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 78
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S02

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
TRIGONOMETRIE CIRCULAIRE

Lecercletrigonom´etrique

−−→
On notex≡(e1 OM) [2π]. On pose
~
•cos(x) =OH
•sin(x) =OK
•tan(xn(cos(is=)xx))=AT

CommeMqurione,nogoetm´lcreirteustscelrea

Proposition.—Pour toutx∈R

Propri´et´esdesyme´trie

cos2x+ sin2x= 1
1
1 + tan2x=
cos2x

Tableau de valeurs

x0π6
sinx0 12
cosx1 32
tanx0 13

π4
√22
√22
1

Proposition*.—Sym´etries—.splentfieeti´prromysedse´useirte´Lnctiesfonitenosse´irocvsivantes:

cos(2π+x) = cosx
cos(−x) = cosx
sin(2π+x) = sinx
sin(−x) =−sinx

Formules d’addition

cos(π+x) =−cosx
cos(π−x) =−cosx
sin(π+x) =−sinx
sin(π−x) = sinx

π3
32
12
3

x

cos(π2 +x) =−sin
cos(π2−x) = sinx
sin(π2 +x) = cosx
sin(π2−x) = cosx

π2
1
0

Proposition.— Formules d’addition —.pour tousaetbt(leiend´efinies)ussnnavissetbtnouesqselerexpioss

cos(a+b) = cosacosb−sinasinbsin(a+b) = sinacosb+ cosasinb
cos(a−b) = cosacosb+ sinasinbsin(a−b) = sinacosb−cosasinb
ana−tanb
tan(a+b1=)at−tnana+anatantbbtan(a−b1+tan)=tatanb

Proposition.— formules de duplication —.En particulier, lorsquea=b, nous obtenons :

cos 2a= cos2a−sin2a= 1−2 sin2a= 2 cos2a−1
sin 2a sin= 2acosa
2 tana
tan 2a=
1−tan2a

Formulesdelin´earisation

Proposition.—Produitsensomme(line´arisation)—.uotruopsel´esraetb

cosacosb=
sinasinb=
sinacosb=

12cos(a+b) + cos(a−b)
1(a−b)−cos(a+b)
122(incsosa+b) + sin(a−b)

1

Corollaire.—

En particulier, lorsquea=b, nous avons

cos2a
sin2a

=
=

211 + cos 2a
211−cos 2a

Savoir-Faire :vre,esulrmfoomnˆbidueluE’d,eioMedteranisestlenenilut,setibuo´ce´nedermulespridedesfo`laa’
vous devez savoir :

◮lnisiree´raprunuiodectdetosisedn
◮au contraire, transformer cos(pθ)nenuopylˆnmonisedtesocede

Exercice 1 :`iremxnadeuenadts,enteff´eresdiedc´ronpE
◮exprimez cos3θen fonction de cosθ 3et cosθ.
◮exprimez cos(3θseunpolynˆome)ecnocmomθ.

Formules de factorisation

Proposition.—Factorisationparl’exponentielleimaginairedel’anglemoiti´e—.
eiθ1+eiθ2= 2 cosθ1−22θθ22eiθ1+2θ2
eiθ1−eiθ2= 2isinθ1−eiθ2+θ

Onende´duit

Proposition.—

Transformations de sommes en produits —.rtouPels´esroupetq

cosp+ cosq cos= 2p2−qcosp+2q
sinp+ sinq= 2 cosp−qsinp+2q
os−=−2 sinp2−qip+q
s n
cpcosq2 2

Re´solutiond’equationstrigonome´triques
´

Proposition.—

Equations simples

cosx= cosa
sinx= sina
tanx= tana

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

x≡a[2π] oux≡ −a[2π]
x≡a[2π] oux≡π−a[2π]
x≡a[π]

Soit (θ1 θ2)∈R2
,

Proposition.— Factorisation deacosx+bsinx=c—.Soit (a b c)∈R3tel que (a b)6= (00). Il existeθ∈Rtel
ue cosθ=aet sinθ=b. Par consequent,
´
qa2+b2a2+b2

acosx+bsinx=c⇐⇒cos(x−θ) =

c
a2+b2

Exercice 2 :ncosqieued’le´uqtaoiigtrlerctr´eomonnoitulosecelrussr´esRepzlesentex+ sinx= 1.

2