Colle N°05: Fonctions usuelles

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+4 octobre 2012 PROGRAMME DE COLLE S04 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. FONCTIONSUSUELLES(I) Fonctions logarithmes puissances et exponentielles 1 +⋆ +⋆Th´eor`eme-D´efinition*.— ln est l’unique primitive de sur R s’annulant en 1 : pour tout x ∈ R , on a donc xZ x dt +⋆ln(x) = . De plus, la fonction ln r´ealise une bijection strictement croissante de R sur R. t1 +⋆ +⋆Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour les logarithmes —. Pour tout couple (x,y)∈R ×R , ln(x×y) = ln(x) +ln(y) +⋆D´efinition : Soit a∈]0,1[∪]1,+∞[, on appelle logarithme de base a la fonction log : R → R d´efinie pour touta +⋆x∈R par log (x) = ln(x)/ln(a).a +⋆Th´eor`eme-D´efinition*.— La fonction ln est bijective deR surR. Son application r´eciproque,not´ee exp est appel´ee +⋆fonctionexponentielle.Il s’agitdoncd’une bijection strictementcroissantedeR surR .Ellev´erifiepour toutcouple (x,y) de r´eels : +⋆x∈R et y = exp(x) ⇐⇒ y∈ R , et x = ln(y) ′De plus la fonction exp est continue, d´erivable et pour tout x∈R, (exp) (x) = exp(x). 2 Th´eor`eme.— R`egles de calcul pour l’exponentielle —. Pour tout couple (x,y)∈R , exp(x+y) = exp(x)×exp(y) +⋆D´efinition : Soit a∈]0,1[∪]1,+∞[, on appelle exponentielle de base a la fonction exp : R→ R r´eciproque dea +⋆log . Pour tout (x,y)∈R×R on a y = exp (x) ⇐⇒ x = log (y)a a a +⋆ +⋆ Th´eor`eme-D´efinition*.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 32
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S04

semaine du 3+4 octobre 2012

NB :seulesrpposotiroe`em,sil´eesneions´eto´gix.seetnosesaplonemd´esnoitartse´htseds
FONCTIONS USUELLES (I)

Fonctions logarithmes puissances et exponentielles

Th´eor`eme-D´efinition*.—inu’peuqimirevitlntlesde1surR+⋆s’annulant en 1 : pour toutx∈R+⋆, on a donc
x
xdt
ln(x) =Z1tsulpeD.ueenlasionct,lafnr´eionlbijection strictement croissantedeR+⋆surR.

The´ore`me.—

R`eglesdecalculpourleslogarithmes—.Pour tout couple (x y)∈R+⋆×R+⋆,

ln(x×y) = ln(x) + ln(y)

De´finition:Soita∈]01[∪]1+∞[, on appellelogarithme de base ala fonctionloga:R+⋆→Rd´efinipeuotruot
x∈R+⋆parloga(x) = ln(x)ln(a).

Th´eor`eme-D´efinition*.—La fonction ln est bijective deR+⋆surRS.´enrioaticplaponn,toe´eeicrpqoeuel´eexpestapp
fonctionexponentielle. Il s’agit donc d’une bijection strictement croissante deRsurR+⋆fiipe´vreuoctuotrElle.ploue
(x y:slde)eer´
x∈Rety= exp(x)⇐⇒y∈R+⋆etx= ln(y)
Depluslafonctionexpestcontinue,de´rivableetpourtoutx∈R, (exp)′(x) = exp(x).

The´oreme.—
`

Re`glesdecalculpourl’exponentielle—.Pour tout couple (x y)∈R2,

exp(x+y) = exp(x)×exp(y)

De´finition:Soita∈]01[∪]1+∞[, on appelleexponentielle de base ala fonctionexpa:R→R+⋆ueoqprci´ered
loga. Pour tout(x y)∈R×R+⋆on ay= expa(x)⇐⇒x= loga(y)

Th´eor`eme-De´finition*.—Soitα∈R, on appellepuissance d’exposantαla fonctionpα:R+⋆→R+⋆niefid´e
par : pour toutx >0, parpα(x) =xα= exp(αlnx). De plus,pαavlbseruestd´eriR+⋆et pour toutx∈R+⋆
,
α−1
p′α(x) =αx.

Proposition.—R`eglesdecalculpourlespuissances—.Pour tous (x y)∈R+⋆×R+⋆et (α β)∈R2, on a :
•lnxα=αln(x)•xα×xβ=xα+β•xα×yα=x×yα•xαβxα×β
=

Remarque :pour toutx∈R, on aex= exp(xe),.sDiemˆema∈]01[∪]1+∞[, expa(x) = exp(xlna) =ax

Th´eore`me*.—Limitesdesfonctionspuissancesexponentielleetlogarithme—.Soitα∈R+⋆
•lim0+ln(x) =−∞ •xl→im−∞exp(x) = 0•xli→m0+pα(x) = 0
x→
•lim ln(x) = ln(a)•lim exp(x) = exp(a)•limpα(x) =pα(a)
x→a x→a x→a
•lim
x→+∞ln(x) = +∞ •xl→i+m∞exp(x) = +∞ •xl→i+m∞pα(x) = +∞

Theoreme.
—
´ `

Croissancescompare´es—.Soit (a α β)∈R3tel queα >0 > β0 eta >1.
lnx)α=•limxβ(|lnx|)α= 0•lim
•xl→im+∞(xβ0x→0+x→+∞axxα= 0•xl→i−m∞|x|αax= 0

1

Fonctions hyperboliques
D´efinition:Les fonctionscosinus,sinusettangente hyperboliquessont les fonctions definies surRpar :
´
x−
−
Pour toutx∈Rch (x) =ex2+e−xsh (x) =ex−2e−xth (x=)ch(sh(x)=)eex+ee−xx
x
Relationsex (= chx) + sh (x) e−x= ch (x)−sh (x).

Proposition.—
La fonction ch :R→Rest paire, de classeC∞surRet pour toutx∈R, ch′(x () = shx)
La fonction sh :R→Rest impaire, de classeC∞surRet pour toutx∈R, sh′(x) = ch (x)
La fonction th :R→Rest impaire, de classeC∞surRet pour toutx∈R, th′(x) = h21(x)=1−th2(x)
c

The´or`eme.—Relationfondamentaledetrigonome´triehyperbolique—.´eelourtoutrPx∈R,
− 1) =
ch2(x)−sh2(x) = 1 et 1 th2(xch2(x)

Proposition*.—Autresformulesdetrigonome´triehyperbolique—.
•ch (a+b) = chachb+ shashb•ch (a−b) = chachb−shashb
•sh (a+b) = shachb+ shbcha•sh (a−b) = shachb−shbcha

•ch 2a= ch2a+ sh2a
•sh 2a= 2shacha

Savoir-faire :`eparaitreobiluqetriehyprigonom´elumtedserturofsntmesaleraerdepidevevousrouvzretesulrmfoesrd
detrigonome´triecirculaireenchangeantlessignesdesproduitsdedeuxsinus.
Fonctionshyperboliquesre´ciproques

The´ore`me-D´efinition*.—Les fonctions argument sinus hyperbolique, argument cosinus hyperbolique et argument
tangentehyperboliquesontd´efiniesdelafac¸onsuivante:
sh :R→Rest bijective, Argsh :R→Rploutcoue(re´vellEtruopefiiabtsecijesorpi.euqnoitce´rx tsl´reede)

x∈Rett= Argshx⇐⇒t∈Retx= sht

ch|: [0+∞[→[1+∞[ est bijective, Argch : [1+∞[→[0+∞tuotruopefiire´evll.Eueoqprci´e[estsabijectionr
uple (x t) de r´ l
co ee s
x∈[1+∞[ ett= Argchx⇐⇒t∈[0+∞[ etx= cht

th :R→]−11[ est bijective, Argth :]−11[→Rpuoc(elruoptuotrnee´itcsrapsibejtcoiev´erifieoque.Ellx t)
der´eels
x∈]−11[ ett= Argthx⇐⇒t∈Retx= tht

Proposition.—Expressionslogarithmiquesdesfonctionshyperboliquesr´eciproques
pour toutx∈]− ∞+∞[, Argshx= lnx+x2+ 1,
pour toutx∈[1+∞[, Argchx= lnx+x2−1,
pour toutx∈]−11[, Argthxnl21=11−+xx.

Proposition.—D´erivabilite´desfonctionshyperboliquesre´ciproques
Argsh :R→Reusrbaelrevits´dRet pour toutx∈R, Argsh′(x) =

1
.
x2+ 1

Argch : [1+∞[→[0+∞us]r1[estd´erivable+∞[ et pour toutx∈]1+∞[, Argch′(x) =
Argth :]−11[→Ravlbe´ir]seruestd−11[ et pour toutx∈]−11[, Argth′(x 1) =−1x2.

2

1
.
x2−1