Colle N°17: Suites numériques

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S17 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´SUITESNUMERIQUES(I) Convergence des suites de nombres r´eels N D´efinition : Soit u∈R une suite de nombres r´eels et ℓ∈R. On dit que u converge vers ℓ, et on note lim u =ℓ, si (∀ε > 0),(∃n ∈ N); (∀n∈N) (n≥ n )⇒|u −ℓ|≤ εn 0 0 n n→+∞ u diverge vers +∞, et on note lim u = +∞ si (∀A∈R), (∃n ∈ N); (∀n∈ N) (n≥ n )⇒ (u ≥A)n 0 0 n n→+∞ u diverge vers −∞, et on note lim u =−∞ si (∀A∈R), (∃n ∈ N); (∀n∈ N) (n≥ n )⇒ (u ≤A)n 0 0 n n→+∞ 2N ′ ¯Th´eor`eme.— Unicit´e de la limite —. Soit u∈ R une suite de nombres r´eels, (ℓ,ℓ )∈R . ′ ′Si lim u =ℓ et lim u = ℓ , alors ℓ = ℓ .n n n→+∞ n→+∞ N Proposition*.— Une petite caract´erisation —. Soit u∈ R une suite de nombres r´eels et ℓ∈ R. La suite u converge vers ℓ si et seulement si il existe une suite v, convergente vers 0, telle que u = ℓ+v. Th´eor`eme.— Limite finie et bornitude —. Toute suite convergente est born´ee. Proposition.— Limites et in´egalit´es —. Soit u et v deux suites de nombres r´eels convergentes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 55
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S17

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
SUITES NUMERIQUES (I)

Convergencedessuitesdenombresre´els
De´finition:Soitu∈RNlee´tesuiesdetembnosrreunℓ∈R. On dit que
n→+∞un=ℓ, si(∀ε >0)(∀n∈N)n≥n0)⇒ |un−ℓ| ≤ε
uconverge versℓ, et on notelim (∃n0∈N); (
n→+∞∈N); (∀n∈N)(n≥n0)⇒(un≥A)
udiverge vers+∞, et on notelimun= +∞si(∀A∈R)(∃n0
udiverge vers−∞, et on notenl→i+m∞un=−∞si(∀A∈R)(∃n0∈N); (∀n∈N)(n≥n0)⇒(un≤A)

Th´eor`eme.—Unicit´edelalimite—.Soitu∈RNsuneumonedetiee´rserbls,(ℓ ℓ′)∈¯R2.

Sil→im+∞un=ℓet limun=ℓ′alorsℓ=ℓ′
n n→+∞

Proposition*.—Unepetitecaract´erisation—.Soitu∈RNnedetiusenuetlseer´esbromℓ∈R.

La suiteuconverge versℓsi et seulement siil existe une suitev, convergente vers 0, telle queu=ℓ+v.

The´ore`me.—Limitefinieetbornitude—.tuseoTobtse´nr.eteuinvcogeereent

Proposition.—Limitesetine´galit´es—.Soituetvsel´esrrembnodesetiusxuedconvergentes.
n→+∞n→+∞vnalorsil existen0∈N que (; tel∀n∈N)n≥n0⇒u
•Silimun<limn< vn
•S’il existen0∈Ntel que (∀n≥n0) un≤vnalorsnl→i+m∞un≤nl→i+m∞vn

The´ore`mesdeconvergence

Proposition.— Suites extraites d’une suite convergente —.Soientu∈RNetℓ∈R.

Siuest convergente de limiteℓalorstoute suite extraite deuest convergente de limiteℓ.

Proposition.—Convergenceparcomple´mentarit´e—.Soient (unlee´te,sbmonrseruiesdeteun)ℓ∈R.
Siles suites (u2n) et (u2n+1aredsemretsedtneemivctpeessreem´etsaiudslepairetimairsngspf)rouconvergent
toutes deux versℓ,alors(un) converge versℓ.

The´or`eme*.—Existenques—.Soit (u v)∈RN×RN(ℓ ℓ′)∈¯Rׯ
cedelimiteparope´rationsalge´bri,R,λ∈R⋆.
•Sinl→im+∞un=ℓ,alorsnli+m|un|=|ℓ|.
→ ∞
limλun) =λ
•Sinl→i+m∞un=ℓ,alorsn→+∞(ℓ.
•Sinl→i+m∞un=ℓetnli+mvn=ℓ′,alorsnl→i+m∞(un+vn) =ℓ+ℓ′.
→ ∞
•Sinl→im+∞un=ℓetnl→i+m∞vn=ℓ′,alorsnl→i+m∞(un×vn) =ℓ×ℓ′.
•Sinl→im+∞un=ℓ6= 0,alorsnl→im+∞1un= 1ℓ,
•Silimun= 0+,alorsl→im+∞1un= +∞.
n→+∞n

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Exercice1:ConvergenceenmoyennedeCe´sar`o—.Soit (un)n∈N⋆une suite convergente vers 0. On lui associe la
ie par∀n∈N⋆1n
suitedesesmoyennesarithme´tiquesd´efin vn=nXuk. Montrez quevest convergente vers 0.
k=1

The´ore`me.—Existencedelimiteparcomparaison,encadrement—.Soient (u v)∈RNetℓ∈R.
S(∀••nnl→i∈+m∞N|vn| ≤ |un|n→+∞
iun= 0alorsvest convergente et limvn= 0
vergent versℓ
Si••∀unet∈wNcounn≤vn≤wnalorsvest convergente etnl→im+∞vn=ℓ
Si(•∀•nnl→i+m∈∞Nunvn=≥+u∞nalorsvest divergente etnl→im+∞vn= +∞

Th´eore`me.—The´ore`medelalimitemonotone—.Soit (un)∈RNune suitemonotone. Alorsuest convergente
si et seulement siuee.Porn´estbemtnsie´´rceulps
Soituun suitecroissantede nombres reels.
´
◮Siur´jo(deesaneamtsR), alorsuest convergente et limun= supun.
n→+∞n
◮Siu´eorajsmrsloeaaptse’nuest divergente vers +∞: limun= +∞.
n→+∞
Soituun suiteetiorcnass´edde nomb ´ l
res ree s.
◮Siu(eadsnmtniroe´esR et lim) enteun= infun.
, alorsuest convergn→+∞n
◮Siularo´sreeimonptsan’esuest divergente vers−∞: limun=−∞.
n→+∞

De´finition:Soit(u v)∈(RN)2. Les suitesuetvsont ditesadjacentessi

e.santroisu’lseenorctassieent’atlreutecd´
(un−vn)n∈Nest convergente de limite nulle.

The´ore`me.—Th´eor`emedeconvergencedessuitesadjacentes—.Soientuetvdeux suitesadjacentes.

uetvgeernvcoonetesnttnosemilmteˆ.imet

Corollaire.—Soientuetvdeux suites adjacentes. On suppose que (un)րet (vn)ց. Soitℓ∈Rleur limite commune,
alors∀(n p)∈N2 un≤ℓ≤vp

Corollaire*.—The´ore`medessegmentsemboˆıte´s—.Soit (Sn)n∈Nsuite de segments non vides. On supposeune
que
nestostnlseesmges:emboˆıt´∀n∈N Sn+1⊂Sn
la suiteLg(Sn)n∈Ndes longueurs des segmentsSnest convergente vers 0.
Alors l’intersection de tous lesSn:intxileestestnonvideerte´udti`euapnioℓ∈R, tel queTn∈NSn={ℓ}.

Savoir-faire :construction de suites adjacentes par dichotomie.

Exercice2:unthe´or`emed’existencedepointfixe—.Soitf: [a b]→[a b] une fonction croissante. Montrez qu’il
existec∈[a b] tel quef(c) =c.

Th´eor`eme*.—Th´eor`emedeBolzano-Weierstraß—.-revnoouesunreecitsus-e´,enoeptuxertiaDetoutesuiteborn
gente.Pluspr´ecis´ement,
Soit (un)n∈Nune´unseteiberobmeredonisteIlexels.sr´eℓ∈Retϕ:N→N, une application strictement croissante,
telles que
limuϕ(k)=ℓ
k→+∞

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