Colle N°27: Espaces vectoriels

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S27 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ESPACESVECTORIELS Espaces vectoriels D´efinition : On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une addition interne, not´ee + et d’une multiplication externe not´ee · telles que : • L’addition + :E×E→E v´erifie les propri´et´es suivantes : 3A1.— associativit´e : ∀(~x,~y,~z)∈E , (~x+~y)+~z =~x+(~y +~z). 2A2.— commutativit´e : ∀(~x,~y)∈E , ~x+y~ =~y +~x. ~ ~ ~A3.— E poss`ede un ´el´ement neutre pour +, not´e 0 : ∀~x∈E, ~x+0 = 0 +~x =~x.E E E ~A4.— tout ´el´ement ~x de E poss`ede un oppos´e, not´e −~x qui v´erifie ~x+(−~x) = 0E • La multiplication· :K×E→E v´erifie les propri´et´es suivantes : 2M1.— associativit´e mixte : ∀(λ,μ)∈K , ∀~x∈ E, λ·(μ·~x) = (λ.μ)·~x 2 M2.— distributivit´e a` droite : ∀(λ,μ)∈K , ∀~x∈E, (λ+μ)·~x = λ·~x+μ·~x 2M3.— distributivit´e a` gauche : ∀λ∈K, ∀(~x,~y)∈E , λ·(~x+~y) = λ·~x+λ·~y M4.— action de 1· : ∀~x∈ E, 1·~x =~x. 2 Proposition.— R`egles de calculs dans un espace vectoriel —.Soit (E,+,·) un K-e.v. Pour tous couples (λ,μ)∈K 2et (~x,~y)∈ E : ~ ~ ~ ~ ~1. λ·0 = 0 et 0·~x = 0 . 3. λ·~x = 0 ⇐⇒ λ = 0 ou ~x = 0 .E E E E E 2. (−λ)·~x =−(λ·~x) = λ·(−~x). 4. λ·(~x−~y) = λ·~x−λ·~y. n Connaˆıtre parfaitement : les structures alg´ebriques des exemples classiques d’espaces vectoriels : K , M , K[X],n,p N F(I,K), R . Proposition*.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 21
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S27

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

ESPACES VECTORIELS

Espaces vectoriels
De´finition:On appelleespace vectorielsurKun ensembleEddaeoititninenrenimuund’,not´ee+et d’une
multiplicationexternenot´eetelles que :
•L’addition+ :E×E→Etnav:serp´ipsorssiutee´vfiele´eri
A1.—etiiat´viacoss:∀(~~xyz~)∈E3,(x~+~y) +~z=~x+ (~y+~z).
A2.—e´tivitatummoc:∀(y~~x)∈E2,~x+~y=y~+x~.
~ ~ ~
A3.—Epnedeuoss`element neutrepour+´te,no0E:∀x~∈E,~x+ 0E= 0E+~x=x~.
´ ´
A4.—e´tuottneme´l~xdeEposs`edeunop´seop,on´te−x~´eivfieriuq~x+ (−x~) =~0E
•La multiplication:K×E→E:setnaviusse´vre´et´opriesprifiel
M1—txemi´eitivatcisoas:∀(λ )∈K2,∀~x∈E,λ(~x) = (λ)~x
.
M2.—sidbirtdr`ateoiivut´eit:∀(λ )∈K2,∀~x∈E,(λ+)~x=λx~+~x
M3.—distributi it´ ` gauche:∀λ∈K,∀(~xy~)∈E2,λ(~x+y~) =λx~+λ~y
v e a
M4.—action de1∀~x∈E,1x~=~x.
:

Proposition.
—
et (~xy~)∈E2:

Re`glesdecalculsdansunespacevectoriel—.Soit (E+) unK-e.v. Pour tous couples (λ )∈K2


~ ~ ~
1.λ0E= 0Eet 0~x= 0E.
2. (−λ)~(λ~x) =λ(−x~).
x=−

~E⇐~0E.
3.λx~= 0⇒λ= 0 ou~x=
4.λ(x~−y~) =λ~ λ~
x−y.

Connaıˆtreparfaitement:saretuuctrsslexesedseuqirbe´glmelpselcsaisuqsed’espacesvectori:sleKn,Mnp,K[X],
F(IK),RN.

Proposition*.— Constructions d’espaces vectoriels
SoitFunK-espace vectoriel. L’ensembleF(X F) est un espace vectoriel surK.
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels. Le produitE×Fest un espace vectoriel surK.

Sous-espaces vectoriels
D´efinition:Soit(E+)unK-espace vectoriel etF⊂Eune partienon videdeE. On dit queFest unsous-
espace vectoriel deE(s.e.v.) si,Fest stable pour les lois+etdeEet muni de ces lois,(F+)est unK-espace
vectoriel.

Th´eor`eme.—Caracte´risationdessous-espacesvectoriels
Soit (E+) unK-e.v. etF⊂Eune partie deE.
•
Fest un sous-espace vectoriel deEssi•F∀(λest)on∈nKv2ide∀(~x~y)∈ λF ~x+~y∈F
2

Connaˆıtre :les sous-espaces vectoriels classiques deKn(solution d’un (SEL)o, deMn(K) (matrices sym et antisym),
deK[X] (Kn[X]), deKN(suites RL2), deF(IR) (Ck(IR),C∞(IR)),etc. . .
Proposition.— Intersection de sous-espaces vectoriels —.Soit (Fi)i∈Iune famille de sous-espaces vectoriels d’un
K-evE. Alors\Fiest un sous-espace vectoriel deE.
i∈I

D´efinition:Sommedesous-espacesvectoriels—.SoitF1 F2deux sev d’unK-evE. On appellesomme deF1et
deF2, et noteF1+F2, le sous-espace vectoriel deEpinfi:rae´d
F1+F2={~x+~2;~x1∈F1~x2∈F2}={x~∈E| ∃~x1∈F1∃~x2∈F2:x~=x~1+x~2}
1x

1

De´finition:Sous-espacessupple´mentaires—.SoitF1etF2deux s.e.v. deE.

F1etF2stnospositourutlppueme´iatn,ser~x∈Eil existe(x~1x~2)∈E2unique tel que

Savoir-faire :sevsdeuxupplontsomqreutnersprearme´eaint`htnesesylays-ean.

•x~=x~1+x~2
•x~1∈F1
•x~2∈F2

Th´eor`eme.—Caracte´risationdessous-espacesvectorielssupple´mentaires—.SoitF1etF2deux sous-espaces
vectoriels de (E+). Alors
E=F1⊕F2•⇒⇐•EF1=∩FF12=+F{2~0E}

D´efinition:Sous-espacevectorielengendr´eparunepartie—.Soit(E+)unK-e.v. etA⊂Eune partie deE.
On appellesous-espace vectoriel deEe´rdnegneparA, et on noteVect(A)le plus petit sous-espace vectoriel de
EcontenantA:
Vect(A) =\F
F sev de E
A⊂F

Proposition.—Caracte´risationdusevengendr´eparunepartie—.Soit (E+) unK- ev,Aune partie deE. Alors

Vect(Acevedseriae´nilsonisnabiomscdelesdeteur)estl’ensembA

En particulier, siF= (u~1~un) est une famille finie de vecteurs deE, alorsVect(F) est l’ensemble des combinaisons
lin´eairesdes~ui.
Vect(u~1u~n) =(i=nX1λi~ui; (λ1     λn)∈Kn)

Familles de vecteurs
De´finition:Soit(E+)unK-e.v etF= (~ui)i∈I∈EIune famille de vecteurs deE. On dit que
Fest unericeeratimafgell´ne´deEsi tout vecteur deEmeomtcriecevLdC-edsruet´’cesF, i.e.E=VectK(F).
En particulier, siF= (~u1~un)∈En, alorsF´eratricestg´enedeEsi
n
∀x~∈E∃(λ1     λn)∈Kn~x=Xλiu~i
i=1

Fest unefamille libresi la seule C-L qui annule les(~ui)est la C-L triviale. En particulier, siF= (u~1~un)∈
En, alorsFest libre si :
∀(λ1     λn)∈Kn λ ~1+λ2~u2+  +λnu~n=~0E⇒λ1=  =λn= 0
1u
Fest unebasedeE.retaireclleisn´´etgeebrlistee
Savoir-faire :ntrerqu’moseelbiltfenulimadeded´la`areail’tionefini.

Proposition.—Proprie´t´esdesfamilleslibresetge´ne´ratrices
~
Si 0∈ F,F´iee.estl
SiF= (~u),Fest libresi et seulement si~u6=~0.
SiF= (u~;v~),Fest libresi et seulement siu~etv~es.eairlin´asconoptnse
SiFest libre etL ⊆ Fest une sous-famille deF, alorsLest libre.
SiFesteltie´,e LF ⊆est une sur-famille deF, alorsLtli´esee.

SiFnee´ts´gcieearrtteF ⊆ Gest une sur-famille deF,G, alorsG.eestg´en´eratric

ore`me.—Caracte´risationde1—.SoitEun~e vecteurs deE.
The´sbasesK-e.v etB= (bi)i∈Iune famille finie d

n
Best un base deEssipour toutx~∈E, il existe unn-uplet (λ1     λn)∈Knunique tel quex~Xλi~
=bi
i=1

Connaıˆtre:les bases canoniques deKn,Kn[X],K[X],Mnp(K).
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