Colle N°30: Représentation matricielle en dim finie

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S30 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´REPRESENTATIONS MATRICIELLES EN DIMENSION FINIE Rang d’une matrice Proposition*.— Rang d’une matrice —. Soit A ∈ M (K) une matrice a` p colonnes not´ees A ,...,A . Notonsn,p 1 p p n (~a ,~a ,...,~a ) les vecteurs canoniquement associ´es aux colonnes de A et a∈L(K ,K ) l’application lin´eaire canoni-1 2 p quement associ´ee `a A. Alors Rga =Rg(~a ,~a ,...,~a ). On pose1 2 p RgA =Rga =Rg(~a ,~a ,...,~a )1 2 p Proposition*.— Rangdedeuxmatrices´equivalentes—. SoitA∈M (K). Pourtoutesmatricescarr´eesinversiblesn,p P ∈GL (K) et Q∈GL (K),p n −1Rg Q ×A×P =RgA 0 11 0 · · · 0 0 0Th´eor`eme*.— Soit A∈M (K) et r≤ min(n,p). Alorsn,p ..B C. ..0 1 .B C B C. . .. . .B C. .. 0A est de rang r J =n,p,r B C0 · · · 0 1 0 0B C si et seulement si B0 0 0 0C @ A.−1 .il existe un couple (P,Q)∈GL (K)×GL (K) tel que A =Q ×J ×Pp n n,p,r . 0 0 0 0 Proposition.— Invariance du rang par op´erations ´el´ementaires —. Soit A∈M (K). On ne change pas le rangn,p d’une matrice lorsqu’on : ´echange deux lignes (resp. deux colonnes) de A; remplace une ligne (resp. colonne) de A par un multiple non nul de cette ligne (resp. colonne); ajoute `a une ligne (resp. colonne) un multilple d’une autre ligne (resp. colonne).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 20
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S30

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
REPRESENTATIONS MATRICIELLES EN DIMENSION FINIE

Rang d’une matrice

Proposition*.— Rang d’une matrice —.SoitA∈ Mnp(Kenu)matrice`apseon´teescolonnA1     Ap. Notons
(~a1 ~ ~apl)nnoledseosictnsaxuoce´asscanteuruemeoniqAeta∈ L(KpKnlipptica’a)li-ricenanonoil´nae
2     aes vec
quementassoci´eea`A. AlorsRga=Rg(~a1~a2~ap). On pose

RgA=Rga=Rg(~a1 ~  ~)
a2    ap

Proposition*.— Rang de deux matric ´ ivalentes —.SoitA∈ Mnp(Kblsies).Pourtoutesmatrieccsra´reeisvnre
es equ
P∈GLp(K) etQ∈GLn(K),
RgQ−1×A×P=RgA

The´ore`me*.—SoitA∈ Mnp(K) etr≤min(n p). Alors

Aest de rangr
si et seulement si
il existe un couple (P Q)∈GLp(K)×GLn(K) tel queA=Q−1×Jnpr×P

1 0∙ ∙ ∙0 0 0
0 .0 1.1
.
.
. .
Jnpr . 0= . .
..
0∙ ∙ ∙ 00 1 0
0 0 0 0
@B00.AC
.
.
0 0

Proposition.—Invariancedurangparop´erationse´l´ementaires—.SoitA∈ Mnp(K). On ne change pas le rang
d’une matrice lorsqu’on :
echange deux lignes (resp. deux colonnes) deA;
´
remplace une ligne (resp.colonne) deApar un multiple non nul de cette ligne (resp. colonne) ;
(igneuneluojaa`etresp. colonne) un multilple d’une autre ligne (resp. colonne).

Savoir-faire :lrseseusseteilngesco/oules.lonnacclulerlerangd’unemirtaapec´portarensiol´´eenemirta
Proposition.—SoitA∈ Mnp(K), alorsAettAont mˆ
eme rang.

Theore`me.—
´

Caract´erisationdesmatricescarre´esinversibles—.SoitA∈ Mn(Krtamenu,)eordreed’arr´icecn.

Aest inversiblesi et seulement siRgA=n

Repre´sentationdesfamillesdevecteurs
D´efinition:Matriced’unefamilledevecteursdansunebase—.SoitEunK-e.v. de dim finie muni d’une baseE.
Lamatricerepr´esentativeME(~a)∈ Mn1(K)d’un vecteuradeEla matrice-colonne dont les coefficients sont lesest
coordonne´esde~adans la baseEe´dno,tnamaltinfieictr.g´enPlusleme´eraME(~a1a~p)∈ Mnp(K)errp´esentative
d’une famille depevuetcenrsngranteaurleesabalnsdaes´enndoorcoEen colonnes.

Proposition.—SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnetE= (e~1~en) une base deE.
L’application Φ :E→ Mn1(K)
~x7→ME(x~)
qui`atoutvecteur~xdeEnenitumosohirpedsm´rpeneseitatseevice-matrnnercoloaeiassscoK-espaces vectoriels.

Th´eor`eme*.—Caract´erisationmatricielledesbases—.SoitEunK-e.v. de dim finie etE= (~e1~en) une base
deE. SoitA= (~a1~an) une famille denvecteurs deE. NotonsA=ME(~a1     ~). Alors
an

Aest une base deEssiAest inversiblessiRgA=n

1

The´ore`me*.—Calculdurangd’unefamilledevecteurs—.Soit
E=e~1e~netA=~a1;  ;~apune famille vecteurs deEn. Alors

Rg(A) =RgME(A)

Enun

K-e.v. de dim

finie muni d’une

base

Repr´esentationmatricielledesapplicationslin´eaires
D´efinition:Matriced’uneapplicationlin´eairedansdesbases—.SoitEpetFndes e.v. de dim finie munis des
basesE= (~e1~ep)etFedeativsentpr´ed´On.erecirtamaltinfiea∈ L(Ep Fn).MEF(a)∈ Mnp(K)par
MEF(a) =MF(a(e~1) a(~e2)     a(~en))

The´ore`me.—SoitEpetFndesK-espaces vectoriels de dimensions finiespetn.FixonsEetFdes bases deEpet
Fn. Alors l’application
Ψ :L(Ep Fn)→ Mnp(K)
a7→MEF(a)
est un isomorphisme deK-espaces vectoriels.

The´ore`me*.—Calculdel’imaged’unvecteur,matricerepr´esentatived’unecompose´e—.SoitE,F,GdesK-e.v.
de dim finies de bases respectivesE,F,G,a∈ L(E F),b∈ L(F G) etx~∈E. Alors

MF(a(~x)) =MEF(a)×ME(x~) etMEG(b◦a) =MFG(b)×MEF(a)

The´ore`me*.—Calculdurangd’uneapplicationline´aire—.SoitEetFdesK-e.v. de dim finies munis de basesE
etF, eta∈ L(E F). Alors
Rg(a) =RgMEF(a)

Th´eor`eme*.—Caracte´risationmatricielledesisomorphismes—.SoitEetFdesKe-v.d.nionsmedimeˆeemn, de
bases respectivesEetFeta∈ L(E F). On noteA=MEF(a). Alors

aest un isomorphisme deEsurFssiAest inversiblessiRgA=n

En ce casMF Ea−1=A−1.
Formules de changement de bases
D´finition : Matrice de passage —.SoitEetE′deux bases d’un espace vectoriel de dimension finieE. On appelle
e
matrice de passagede la baseEvers la baseE′, et on notePE →E′dese´rpereevitatneamalcirtE′dans la baseE.
On a :
PE →E′=ME(E′) =ME′E(IdE)
Remarque :en particulier,PE →E′est inversible etPE →E′−1=PE′→E

Th´eor`eme.—Formulesdechangementdebase—.SoitE,FdesK-e.v. de dim finies,E,E′deux bases deE,FF′
deux bases deF,P=PE →E′etQ=PF →F′.
Soitx~∈Eun vecteur deE. On noteX=ME(x~) etX′=ME′(~x). Alors
X′=P−1×X

Soita∈ L(E) un endomorphisme deE. On noteA=ME(a) etA′=ME′(a). Alors
A′=P−1×A×P

Soita∈ L(E Feaun)pplicationlin´earideeEversF. On noteA
ME′F′(a). Alors

A′=Q−1×A×P

2

=

MEF(a) etA′=