Colle N°32: Intégration sur un segment

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S32 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´INTEGRATION SUR UN SEGMENT Int´egrale d’une fonction continue (par morceaux) sur un segment Th´eor`eme*.— approximation uniforme d’une fonction continue sur [a,b] par des fonctions en escalier —. Soit f ∈C([a,b],R) une fonction continue sur [a,b] et ε> 0 fix´e. Il existe ϕ,ψ∈ E([a,b],R) des fonctions en escalier t.q. 0≤ψ−ϕ≤ε ϕ≤f ≤ψ Th´eor`eme*.— Int´egrale d’une fonction continue sur un segment —. Soitf ∈C([a,b],R).

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 29
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S32

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

´
INTEGRATION SUR UN SEGMENT

Int´egraled’unefonctioncontinue(parmorceaux)surunsegment

Th´eor`eme*.—approximationuniformed’unefonctioncontinuesur[a b]par des fonctions en escalier —.Soit
f∈ C([a b]R) une fonction continue sur [a b] etε >est.I´exilexfi0ϕ ψ∈E([a b]R) des fonctions en escalier t.q.



0≤ψ−ϕ≤ε



ϕ≤f≤ψ

The´ore`me*.—Int´egraled’unefonctioncontinuesurunsegment—.Soitf∈ C([a b]R’itlniefialgr´entedenO´d.)
aa`bdefpar :
Zabf(t)dt= inf(Zbaϕ(t)dt;ϕ∈E([a b]R) ϕ≥f)= sup(Zabϕ(t)dt;ψ∈E([a b]R) ψ≤f)

De´finition:Une fonctionf∈ F([a b]R)est ditecontinue par morceauxsur[a b]s’il existe une subdivision
a=a0< a1<  < an=btelle que pour tout indicei∈[0 n−1]]:
•La fonctionf|: ]ai ai+1[→Rest continue
•La fonctionf|: ]ai ai+1[→Raeparcontinuit´e`seorptgnollbae[ai ai+1].
On noteCpm([a b]R)l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur[a b].
De´finition:Soitf∈ Cpm([a b]R),a=a0< a1<  < anonadapt´eueb`daivisinusefd´efinitl.Onladeei’tne´rgf
entrea bar :
et pZbaf(t)dt=Za0a1f(t)dtZa1a2+Zanan−1f(t)dt
+f(t)dt+  

Propri´ete´sdel’inte´grale

Theoreme*.—Propri´ete´sdel’int´egraledesfonctionscontinuesparmorceaux—.Soit [a b] un segment deR,
´ `
(a≤b),c∈[a b] un point de [a b]. Pour tout couple de fonctions (f g)∈ Cpm([a b]R)2, et tout couple de scalaires
(λ µ)∈R2, on a :
•´itar´einL•Croissance :
e :
b
Za=λZabf(t)dt+µZbag(t)dtsif≤g,alorsZabf(t)dt≤Zabg(t)dt.
(λf+µg)(t)dt
•Relation de Chasles :•itosP:´eitiv
b
Zabf(t)dt=Zcaf(t)dt+Zbcf(t)dt.sif≥0,alorsZf(t)dt≥0.
a

ncontinue et positivesur

Proposition*.—D´efinie-positivit´edel’inte´grale—.Soitf∈ C([a b]R+) une fonctio
le segment [a b].
nt siZbaf(t)dt= 0
fest identiquement nullesi et seuleme

Corollaire*.—Estimationsd’int´egrales—.Soit [a b] un segment deR, (a≤b) et (f g)∈ Cpm([a b]R)2. On a :
eZabf(t)dt≤Zab|f(t)|dt•nneomeydelait´eegalIn´Zbaf(t)dt≤[saupf|Zb
•Valeur absolu| |g(t)|dt
b]a
b
Zabf(t)g(t)dt≤Zbaf2(t)dZat)dt
•whra:zuahc-ycSlit´edeCIn´egat g2(

Remarque :soitf gdes fonctions continues sur [a borrespondaucaso`´u’lgeeslfaotniceti´o’nlsCIcSle],sdcafetg
sontcoline´aires.
1

Th´ `me.—
eore

Valeur moyenne d’une fonction continue —.Soitf∈ C([a b]R). Il existec∈[a b] tel que
1b
b−aZaf(t)dt=f(c)

Liensfondamentauxentreinte´gralesetprimitives
LeTr`emh´eodameefonlatnacudlucl´tniraegluopsulisuesrofmres:edscl´eesin

Th´eor`eme.—Inte´gralefonctiondesabornesup´erieure—.Soitf∈ C(IR), une fonctioncontinuesur uninter-
valle,a∈IetF:I→Rinfie´drape∀x∈I F(x) =Zxaf(t)dt. AlorsFtd´erivaeslbseruIetF′=f

The´or`eme.—Primitivesd’unefonctioncontinue—.Toute fonctioncontinuef∈ C(IR) sur l’intervalleIede`ssop
des primitives surIta.Edont´enna∈I, l’unique primitiveFadefsurI, qui s’annule au pointaiefin´etdrpase
x
∀x∈I Fa(x) =Zaf(t)dt

Th´eo`e.—Th´eore`mefondamentalducalculint´egral—.Soitf∈ C(IR) etFune primitivequelconquedef
rem
surI, alors pour tout (a b)∈I2
Zbaf(t)dt=F(t)ba=
F(b)−F(a)

Corollaire.—Repr´esentationint´egraledesfonctionsdeclasseC1—.Soitf∈ C1(IR),a∈I, alors
x
∀x∈I f(x) =f(a) +Zf′(t)dt
a

Calculsd’int´egrales

Th´eor`eme—Int´egrationparparties—.soit (u v)∈ C1(IR)2, alors pour tout (a b)∈I2
.
Zbau′(t)×v(t)dt=u(t)×v(t)ab−Zabu(t)×v′(t)dt

The´ore`me.—
(a b)∈I2

Changement de variable —.soitf

∈ C(IR) etϕ∈ C1(JR) telle queϕ(J)⊂I. Alors pour tout

Zab◦ϕ(t)×ϕ′(t)dt=Zϕ(aϕ)(b)f(u)du
f

Approximationsd’int´egrales
De´finition:Soitf∈ C([a b]R)une fonction continue sur le segment[a b]. Pour tout entiernalnsid`ere,onco
subdivisionre´gulie`re(a0 a1     an)de[a b]. On appelle unesomme de Riemannde rangndeftoute somme

b−n−1
Rn(f) =anXf(ci)u`oci∈[ai ai+1]
i=0

La suiteRn(f)n∈N⋆eestappel´eeuenustidesemoemdsRiemanndef.

Th´eore`me*.—ConvergencedessommesdeRiemann—.Soitf∈ C([a b]R) une fonction continue sur le segment
b
[a b]. Toute suite de sommes deRiemanndefest convergente de limiteZa
f(t)dt.

2

fonction

xα
avecα6=−1

1

cos(x)

sin(x)

tan(x)
ex

ch (x)

sh (x)

th (x)
1
1+1x2
1−x2

1
1−x2

1
2
x−1

1
1 +x2

PRIMITIVES USUELLES

Primitive
xα+1C
α+ 1 +

ln(|x|) +C
sin(x) +C

−cos(x) +C

−ln(|cosx|) +C
ex+C

sh (x) +C

ch (x) +C

ln(chx) +C
Arctan (x) +C

1
2

Argth (x) +C
ln1+x+C
1−x
Arcsin (x) +C

Argch (x) +C
ln(x+x2−1) +C

Argsh (x) +C
ln(x+ 1 +x2) +C

3

Intervallesdevalidite´
I⊂Rsiα∈N
I⊂R+⋆ouI⊂R−⋆siα∈Z−
I⊂R+⋆siα∈RZ

I⊂R+⋆ouI⊂R−⋆
I⊂R

I⊂R

I⊂Ik=]kπ−π kπ+
I⊂R

I⊂R

I⊂R

I⊂R
I⊂R

I⊂]−11[

π[

I⊂]− ∞−1[∪]−11[∪]1+∞[

I⊂]−11[

I⊂]1+∞[
I⊂]− ∞−1[ ouI⊂]1+∞[

I⊂R
I⊂R