Colle N°37: Espaces vectoriels euclidiens

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S37 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 13
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S37

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ ´
GEOMETRIE AFFINE EUCLIDIENNE

Points et vecteurs d’un espace vectoriel
SoitEunRe´letnemedsveceorctl.ies´Lepaes-Eruopree´csmoemedvscerontˆetreconsid´.stnioucsourtespdemeom
−→
•nodtnateeuxpn´edsointAetB´dfie,noveceinltruetAB=B−A;
´
•´inpanetontd´tnAet un vecteuru~itlepoin,ond´efintA+u~.
ne u o
Barycentre
Soit (A1     An)∈En, (α1     αn)∈Rntels quePni=1αi6= 0.
n
D´efinition:Il existe un unique pointG∈Etel queXαiG−−A→i=~0E.
i=1
Le pointGestappel´ebarycentreme`eudysts{(A1 α1)    (An αn)}. On noteG=Bar{(A1 α1)    (An αn)}.
Applications affines
De´finition:Une applicationf:E→Eest diteaffineoitanilnpaencilpai´erelexisteus’iϕ:E→Etelle que
∀(A B)∈E2−−−−f−(−B→) =ϕ−→
f(A)AB

~
En ce cas,ϕest l’palpoilncitae´einreaisoas´ecia`f, on la notef.

Proposition*.—Soitf:E→Eune application affine deEet Ω un point quelconque deE. Alors
~−−→
∀M∈E f(M) =f(Ω) +fΩM

Proposition.—Soitf:E→Eune application affine.

SiG=Bar{(A1 α1)    (An αn)}, alorsf(G) =Bar{(f(A1) α1)    (f(An) αn)}.

Isome´triesd’unespaceaffineeuclidien

De´finition:SoitEunR-espace vectoriel euclidien.
Une applicationf:E→Eestappel´eeunemosirte´ei:seuruiselle´eprrvseeselnglo
−−−
∀(A B)∈E2kf−(−A−)f(B→)k=kA−→Bk

Proposition.—Unetm´soeiulP.´rpsnoitenffiappeacalieeriunstnt:ecis´eme

Proposition*.—Caracte´risationdesisome´triesvectorielles—.sscoriae´naenoilcatippliL’aeeristee´inua`osiete´m
uneisome´trievectorielle.Pluspr´ecis´ement:
→
f:E→Eietr´esemosienutssi••f~f:∈EO(E)Eest affine

D´efinition:tsdesedm´eneplLaecEsoneeidse´rtsimoltseEtelles quef∈SO(E).
De´placementsduplanaffineeuclidien

Th´eor`eme.—mecesdntd´eslaepcueeidilalpunffianneLE2sont les translations et les rotations.
D´eplacementsdel’espaceaffineeuclidien

The´or`eme.—nemeedstse’lecapneafficleuieidnLesd´eplacE3sont les translations, les rotations et les vissages,i.e
lescompos´eescommutativesd’unetranslationdevecteur~uidir´gpeoidna’exunerotatetd’rau~.

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