Colle N°40: Champs de vecteurs

Description

MPSI Lyc´ee Rabelais Semaine du 3+11 aouˆt 2011 Programme de colles S40 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 20
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Programme de colles

S40

Semaine du 3

NB :seulesgie´se.noptsaxelemonssd´eoisnrtta´hoeedts,pesemr`tisiporoiote´snosensee´l

11 aout 2011
ˆ

Champ de vecteurs
Potentiel scalaire d’un champ de vecteurs
Soit Ω un ouvert deR2.
~
D´efinition:Un champ de vecteurs dansΩest une applicationV: Ω→R2. On note∀x= (x1 x2)∈Ω~V(~x) =
P1(x) P2(x). On dit queV~est continu (resp. de classeC1) dansΩsi ses composantesP1etP2le sont.

De´finition:SoitV~: Ω→R2un champ de vecteurs de classeC1dansΩ. On dit que~Vdlietnetopnu’devire´
xistef: Ω→Rde clas1~−−→
scalaire ses’il eCtelle queV= gradf.
D´efinition:L’ouvertΩest ditoiet´el´a`troppraarpasi pour tout pointx∈Ω, le segment[ax]items´ede’tx´raetx
estentie`rementcontenudansΩ.

~
Th´eor`eme*.—th´eor`emedePoincare´—.SoitV= (P1 P2) un champ de classeC1adsnnutoil´e.ouvert´e

V~nu’detope´devirientl⇐⇒∂xP∂12=x∂P∂12

Circulation d’un champ de vecteurs
~
D´efinition:SoitV= (P1 P2)un champ de vecteurs continu dans un ouvertΩetΓ = ([t0 t1] M)nurapcramae´rte´
~
de classeC1sansdurelava`Ω. On notef(t) = (x1(t) x2(t))vecttionfoncla.cossee´ieiroaell
On appellecirculationdeV~le long deΓ, et on noteZΓ~Vale:l’int´egr
ZΓ~V=Zt0t1V~(f~(t))|f~′(t)dt
=Zt0t1P1x1(t) x2(t)x′1(t) +P2x1(t) x2(t)x′2(t)dt
On note aussiZΓ~V=ZΓP1dx1+P2dx2
Formule de Green-Riemann

eC1simpl~
Th´eor`eme.—Γ = ([t0 t1] M) un arc de class ( et7→f(t) est injective dans [t0 t1neirote]lsnade´tsenes
trigonome´trique.OnnoteDle domaine borde par Γ. Alors
´
ZΓP1dx1+P2dx2=DxPx∂∂21−P∂x∂21dx1dx2