Complément aux solutions de l’exercice proposé par Michel Sarrouy

Iufm

Description

M. Sarrouy à propos de l'exercice I . Les questions Pour , on n Écrire sous form a . . b . la limite de II . Résolution 1 . Analyse La seconde ex puissances (dé une transform Sous cette form L'expression en 2 . Synthèse Pour e Avec ces notat est la d la progression Sa dérivée est n B? Sn Sn 2< Sn 1 2 1–?= Sn 1 1 2 --? ? ? ? 1?= ?n x( ) x 1 2+= ?n x( ) x 1 +(= n B? ?n x( ) x 1 2+= Tn x( ) 1 2+= Tn x( ) Exercice 485-4 ote . e condensée. En déduire : quand n tend vers +∞. pression de laisse voir la suite des entiers (numérateurs) et une suite des nominateurs). Le fait que ces puissances soient au dénominateur dérange, mais ation facile permet de les faire « monter » : ou bien, de façon plus agréable encore, . e, « on reconnaît » une expression liée à une série : , elle-même plus agréable sous la forme . tre parenthèses est la dérivée de dont la somme est connue.

• tre parenthèses


• carré de côté


• illustration géomét


• sn ?n


• seconde ex


• haque question

Informations

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• Langue: Français

Extrait

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

1/7

Exercice 485-4

I .

Les questions

Pour

, on note

.

Écrire

sous forme condensée. En déduire :

a .

.

b . la limite de

quand n tend vers +

∞

.

II .

Résolution

1 . Analyse

La seconde expression de

laisse voir la suite des entiers (numérateurs) et une suite des

puissances (dénominateurs). Le fait que ces puissances soient au dénominateur dérange, mais

une transformation facile permet de les faire « monter » :

ou bien, de façon plus agréable encore,

.

Sous cette forme, « on reconnaît » une expression liée à une série :

, elle-même plus agréable sous la forme

.

L’expression entre parenthèses est la dérivée de

dont la somme est connue.

2 . Synthèse

Pour

et pour x réel différent de 1, posons

et

.

Avec ces notations,

et

.

est la dérivée de

et cette somme, somme des n premiers termes de

la progression géométrique de premier terme x et de raison x, vaut

.

Sa dérivée est

soit

n

B

∈

S

n

1

2

--

2

4

--

3

8

--

…

2

2

n

-----

+

+

+

+

1

2

--

2

2

2

-----

3

2

3

-----

…

n

2

n

-----

+

+

+

+

=

=

S

n

S

n

2

<

S

n

S

n

S

n

1

2

1

–

×

2

2

2

–

×

3

2

3

–

×

…

n

2

n

–

×

+

+

+

+

=

S

n

1

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

1

×

2

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

2

×

3

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

3

×

…

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

×

+

+

+

+

=

Σ

n

x

(

)

x

1

2x

2

3x

3

…

n

x

n

+

+

+

+

=

Σ

n

x

(

)

x

1

2

x

2

1

–

3x

3

1

–

…

n

x

n

1

–

+

+

+

+

(

)

=

x

x

2

x

3

…

x

n

+

+

+

+

n

B

∈

Σ

n

x

(

)

x

1

2x

2

3x

3

…

n

x

n

+

+

+

+

=

T

n

x

(

)

1

2

x

3

x

2

…

n

x

n

1

–

+

+

+

+

=

S

n

Σ

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

=

Σ

n

x

(

)

xT

n

x

(

)

=

T

n

x

(

)

x

x

2

x

3

…

x

n

+

+

+

+

x

1

x

n

–

1

x

–

-------------

T

n

x

(

)

1

x

n

–

1

x

–

-------------

x

nx

n

1

–

–

1

x

–

(

)

1

x

n

–

(

)

1

–

(

)

–

1

x

–

(

)

2

------------------------------------------------------------------------

+

=

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

2/7

dont on tire

puis

soit

d’où enfin

. Cette égalité peut également être justifiée par récurrence.

La réponse à chaque question en découle :

a . On a

.

b .

donc

.

III .

Illustration géométrique à l’aide d’aires

Une unité de longueur a été fixée.

L’idée est d’utiliser pour unité d’aire celle d’un carré de côté 1. Vu ce qui précède, on suppose donc

disposer de deux carrés assemblés en un rectangle de longueur 2 et de largeur 1.

T

n

x

(

)

1

x

n

–

(

)

1

x

–

(

)

1

x

–

(

)

2

-----------------------------------

x

nx

n

1

–

–

nx

n

1

x

n

–

+

+

1

x

–

(

)

2

-------------------------------------------------------

+

=

T

n

x

(

)

1

x

–

x

n

x

n

1

+

+

–

1

x

–

(

)

2

-----------------------------------------

nx

n

–

nx

n

1

+

x

x

n

1

+

–

+

+

1

x

–

(

)

2

---------------------------------------------------------------

+

=

T

n

x

(

)

1

x

n

–

nx

n

–

nx

n

1

+

+

1

x

–

(

)

2

---------------------------------------------------

=

Σ

n

x

(

)

x

1

x

n

–

nx

n

–

nx

n

1

+

+

1

x

–

(

)

2

---------------------------------------------------

=

S

n

Σ

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

1

2

--

1

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

–

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

–

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

1

+

+

1

1

2

--

–

⎝

⎠

⎛

⎞

2

---------------------------------------------------------------------

2

1

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

–

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

–

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

1

+

+

×

=

=

=

S

n

2

1

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

–

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

–

n

1

2

--

⎝

⎠

⎛

⎞

n

1

+

+

×

2

1

2

n

1

–

------------

n

2

n

1

–

------------

–

n

2

n

-----

+

–

2

n

1

+

2

n

1

–

------------

n

2

n

-----

+

–

=

=

=

S

n

2

n

2

n

–

2

–

2

n

------------------------

+

2

n

2

+

2

n

-----------

–

=

=

S

n

2

<

n

2

+

2

n

-----------

n

+

∞

→

lim

0

=

S

n

n

+

∞

→

lim

2

=

1

2

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

3/7

est alors l’aire de la moitié d’un des deux carrés :

et on continue ainsi :

1

2

--

1

x

1

2

le reste est é

g

al à (1 + 2) fois

1

2

1

x

2

x

1

2

1

4

1

4

le reste est é

g

al à (2 + 2) fois

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

4/7

1

x

2

x

3

x

1

2

1

4

1

8

1

8

le reste est é

g

al à (3 + 2) fois

1

x

2

x

3

x

4

x

1

2

1

4

1

8

1

16

1

16

le reste est é

g

al à (4 + 2) fois

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

1

2

1

4

1

8

1

1

16

32

1

32

le reste est é

g

al à (5 + 2) fois

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

5/7

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

16

32

64

1

64

le reste est é

g

al à (6 + 2) fois

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

1

16

32

64

12

8

le reste est é

g

al à (7 + 2) fois

1

12

8

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

1

1

16

32

64

12

8

256

le reste est é

g

al à (

8

+ 2) fois

1

256

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

6/7

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

1

1

1

16

32

64

12

8

256

512

le reste est é

g

al à (9 + 2) fois

1

512

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

10

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

1

1

1

1

16

32

64

12

8

256

512

1 024

le reste est é

g

al à (10 + 2) fois

1

1 024

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

10

x

11

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

1

1

1

1

1

16

32

64

12

8

256

512

1 024

2 04

8

1

2 04

8

le reste est é

g

al à (11 + 2) fois

M. Sarrouy à propos de l’exercice 485-4

7/7

On constate que l’ajout à chaque nouvelle étape est inférieur à la place disponible, que le tout tend

à remplir le rectangle initial et l’on « voit » à chaque étape l’égalité

.

Bien qu’il ne donne pas de démonstration, ce paragraphe, intitulé illustration géométrique, pourrait

aussi bien être nommé intuition géométrique.

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

10

x

11

x

12

x

1

2

1

4

1

8

1

1

1

1

1

1

1

1

1

16

32

64

12

8

256

512

1 024

2 04

8

4 096

1

4 096

le reste est é

g

al à (12 + 2) fois

S

n

n

2

+

2

n

-----------

+

2

=