Correction : Algèbre générale, Dérivation dans un anneau
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Correction : Algèbre générale, Dérivation dans un anneau

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1.

2.a

2.b

2.c

3.

1.

2.a
2.b

3.a

3.b

4.a
4.b

1.a
1.b

1.c

2.a

2.b

Si=alors,=0 .

,= −,.

Correction

Partie I

,+=(+)−(+)=−+−=,+,.
,,=−−+etc
On remarque que()=,.
(+)=,+=,+,=()+() .
()=−,()+()=−+−=−donc
()=()+().

Partie II

δ(0)=δ(0+0)=δ(0)+δ(0) doncδ(0)=0 .
δ(1)=δ(1×1)=1×δ(1)+δ(1)×1=2δ(1) doncδ(1)=0 .

δ(0)=δ()+δ(−) doncδ(−)= −δ() .
δ(1)=δ(−1)+δ()−1doncδ(−1)= −−1δ()−.

δ(12)=∑1−1δ()+1.
=1

δ()=∑−1δ()−.
=1
Sietδ( :) commutentδ()=−1δ() .
δ, 1∈δ,∀,∈δ,δ(−)=δ()−δ()=0 etδ()=δ()+δ()=0 donc−,∈δ
∀∈δ\{0},δ(−1)= −−1δ()−1=0 donc−1∈δ.

Partie III

.

Oui et on le vérifie sans peine.
Non, par exemple dans le cadre de l’anneau des fonctions d’une variable réelle dérivable, la composée de
la dérivation usuelle avec elle-même donne la dérivation seconde, qui n’est pas une dérivation (problème
pour la formule (2)).
Sans peineδ1,δ2(+)=δ1,δ2()+δ,1δ2() .
δ1,δ2()=δ1(δ2())−δ2(δ1(,))=δ(1δ(2)+δ(2))−δ(2δ(1)+δ(1)) donne après
simplification de termesδ2()δ1(),δ1()δ2() :
− −
δ1,δ2()=δ1(δ2())+δ1(δ2()) δ(2δ(1))δ(2δ(1)).
Or ceci correspond àδ1,δ2()+δ1,δ2()comme voulu.

δ,()=δ(−)−δ()+δ()=δ()−δ() après simplification de termesδ() etδ().
Ainsiδ,()=δ()() et puisque ceci vaut pour tout∈:δ,=δ().
,=()=[,].