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Correction : Algèbre générale, Ordre sur des suites croissantes d'entiers

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d’après HEC 1974

1.

2.

1.

2.a

2.b

Correction

Partie I

Pour>:−−11+−1=0+0=.
Pour=:−−11+−1=1+0=.
Pour<:−−11+−1=(−(1)!−(1)!−)!+((!−−1)!−1)=(−1(!)!(+−()!−))=!(!−)!
Dans tous les cas−11+−1=.

1
Si≥1 alors−−1∈ℕdonc−−11+−1=donne−1≤
avec égalité ssi−11=0 i.e.>.

Si=0 alors=1=−1 et il y a égalité et inégalité.

Partie II

.

A une suite=(1,2,…,) on peut associer{1,2,…,}partie àéléments de.
Inversement, pour toute partieàéléments de, il existe une et une seule suite=(1,2,…,)
qui lui correspondent (celle-ci étant obtenue en ordonnant la partie). Il y a donc autant d’éléments dans
qu’il y a de parties àéléments dans.
Ainsi=.

La relationest bien évidemment réflexive.
Soit=(1,…,) et=(1,…, de) éléments.
Supposons≠et considéronsle premier indice tel que≠.
Si<alors il est faux que. Si>alors il est faux que.
Ainsi≠⇒ou. Par contraposée :et.
Soit=(1,…,) ,+1≤′−−−−11−⋯−++11 et=(1,…,) éléments de
−−11+≥−1+=+ .1
Supposonset−−11≥.
Si=ou−1≥alors il est clair que.
Sinon,−−11+≤−′−−−11−⋯−++11 tel que−−11≤−′−−−11−⋯−et
<
et∃′∈1,tel que−1et′<′.
Dans le cas où≤′−−−−11−⋯−++11 , on a∀∈,−1 ,==et.
Dans le cas où′<, on a∈1,−1 et=<.
Dans tous les cas.
Ainsiest une relation d’ordre.
Soit=(1,…,) et=(1,…, de) éléments.
Si=alors.
Si≠alors considéronsle premier indice tel que≠.

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5.

1.

2.a

Si<alors. Si>alors.
Dans tous les casetsont comparables.
L’ordre est total.
 2, 4) (1,(1, 2,3) 4) (1,3, 2,5) (1, 4) (2,3, 4, 5) (1,3,5) (1,
() 1 2 3 4 5 6 7
 (1,(1, 2,3, 4) (1, 2,3,5) (1, 2, 4,5) (2,3, 3, 4,5) 4,5)
.
( 2 3 4 5) 1

(2,3,5)
8

(2, 4,5)
9

(3, 4,5)
10

=(1,2,…,) .
Il y a−=−1suites de la forme (1,…,−1,) strictement supérieures à.
En effet une telle suite s’obtient en choisissantdans{+1,…,}.
Il y a−2−1suites de la forme (1,…,−2,,) strictement supérieures à.
En effet une telle suite s’obtient en choisissant<dans{−1,…,}.
Plus généralement, pour∈1,: il y a−−+ (1 suites de la forme1,…,−1,,…,) strictement
supérieures à.
En effet une telle suite s’obtient en choisissant<⋯<dans{,…,}.

Au total il y a∑−−+ de1 suitesstrictement supérieure à.
=1

Par suite()=−∑−−+1 .
=1
()=1601−1301−192−89−7 8473456.0217765432
− − − − − − =

Partie III

Soit=∈ℕ/≤′.est une partie deℕ, montrons qu’elle est non vide et majorée
=0∈car0=0 donc≠ ∅.
Remarquons que si>alors≥(cela se démontre aisément par récurrence sur>)
Soit∈. Si>alors≥′≥donc≤max(,′) . Ainsiest majorée.
Finalement,est une partie non vide et majorée deℕelle possède un plus grand élément, .
Si=′0 alors=−1 car−1=0 et∀≥,≠0 .
Si=1 alors=′car1=′′et∀>′, 1=>′.

Soit∈1,−1
.
est le plus grand entier tel que≤′−−−−11−⋯−++11 .
−1est le plus grand entier tel que−−11≤′−−−−11−⋯−
donc−11+≤′−−−11−⋯−+11
+− −.
Si−1≥alors−−11≥− I.2) et donc1 (par−−11+≥−1+
+1≤′−−−−11−⋯−++11 ce qui contredit la définition de.

=

+ alors1 et

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2.b

3.a

3.b

4.

5.

1est le plus grand entier tel que1≤avec=′−−−−11−⋯−22on a donc1=et
par suite11+22+⋯+=+22+⋯+=′.
<car∀≥,≥=>′(via I.2)
=(−,…,−1)=(1,…,) avec=−−+1.
  
()=−∑1−−+1=−∑1−−++11′==+1−−′∑1′′=−′.
= = =

Connaissant() , on peut calculer=−() .
On construit ensuite la suite,…,1comme en 2. puis la suitecomme en 3.b
=1016=8008 ,′=8008−2003=6005 .
10=15 , 6005−3003=3002 ,9= 300214 ,−2002=1000 ,8=12 , 1000−495=505 ,
=
7= 50511 ,−330=175 ,6=9 , 175−84=91 ,5 918 ,−56=35 ,4=7 , 35−35=0 ,3=2 ,
2=1 ,1=0 .
Finalement=(1, 2, 4,5, 7,8,9,14,15,16) .