Correction : Algèbre linéaire, Calculs de déterminants

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2.a

2.b

3.a

3.b

1.a

Correction

Partie I

, ,
2−1←

1=,2=2−,3=3+2+2−3.
 ⋯  ⋯
Dans le cas=:=⋮⋮⋱⋱⋮=0⋮−⋱)0(a iv 2←
 ⋯0 (−)−
−(0)
donc en développant selon la première colonne=⋱=(−)−1.
(−)−[−1]
En transposant, on obtient=(−)−1dans le cas=.
+(−1) ⋯1⋯
1←1+⋯+donne=+(⋮−1) ⋱=(+(−1)) 1⋮⋱.
+(−1)  1 
2←2−1,,←−1donne
1⋯
=(+(−1)) 0⋮−⋱0=(+(−1))(−)−1.
0 0−

 
⋱ ⋮
 
⋯ 
⋯0−

0
⋮
0 .
−
2−−

−1.


← 
Via←−−1et −−1donne=

0
En développant selon la dernière colonne :
  0    
⋱ ⋮
=  0⋮= −(−)⋱ ⋮+(2−−)⋱ ⋮
⋯−
0⋯0−2−−0⋯0− ⋯ 
puis= −(−)(−)−2+(2−−)−et la relation demandée.
La suite ()≥1est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
2−(2−−)+(−)(−)=0 . En reconnaissant somme et produit des racines, les solutions de
cette équation caractéristique sont−et−, elles sont distinctes car≠et donc le terme général
de ( de la forme) est=λ(−)+(−).
Pour= on obtient1 ,λ(−)+(−)=(1)
Pour=2 , on obtientλ(−)2+(−)2=2−(2)
(−)×(1)−(2) donneλ(−)(−)=(−) doncλ=−et de même=−d’où
(−)−(−)
 =
.
−

Partie II

En retranchant la première colonne à toutes les autres colonnes, on fait disparaître lesdes colonnes
2,…,. En développant alors le déterminant selon sa première colonne on obtient une somme de

1.b

1.c

2.a

2.b

coefficients qui sont des fonctions affines demultipliés par des cofacteurs qui eux ne dépendent par de
. Ainsi( comme une fonction affine de) apparaît.


Pour= −,(−)=∏(−)=β−α.
=1

Pour= −,(−)=∏(−)=β−α.
=1
 
α=(−)−(−)=∏=(−)−∏=(−et )
On en déduit1 1
− −
 
∏(−)−∏(−)
= − +α== =.
β()1−1
 
∏(−)−∏(−)
== ==
.
 (0)β1−=1
Notons, (le coefficient d’indice, la matrice définissant) de. En fixantet en faisant, on
peut percevoir,comme une fonction de:֏,(Cette fonction est continue car soit) .

֏
,()=, soit,( dépend pas de) ne. Puisque()=∑ε(σ)∏σ( ),() , () est
σ∈=1
continue par opération sur les fonctions continue.
Par continuité :()=lim() .
→
   
∏(−)−∏(−)∏(−)−∏(−)
Or pour≠:()==1−=1donc()=li→m=1−=1.
     
∏(−)−∏(−) (−+)∏(−)−∏(−)∏(−)−∏(−)
=1 =1==1 =1=∏=(−)−=1 =1

− −1−
 
Mais li→m  ∏(−)=∏(−) et lim∏1(−)−∏1(−)1()11()
=1=1→=−==∏=−== −∑=∏=−.
≠
  
Finalement, quand=:=∏(−)+∑∏(−) .
=1=1=1
≠