Correction : Algèbre linéaire, L'anneau des quaternions

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Calcul matriciel. Espaces euclidiens.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 50
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

d’après Mines de Sup 2003

1.a

1.b

2.a

2.b

2.c

3.

1.a

1.b

2.a
2.b
2.c

Correction

Partie I

Aisément :∀,∈2(ℂ),∀λ,∈ℂ,σ(λ+)=λσ()+σ() doncσ∈(2(ℂ)) .
De plus,∀∈2(ℂ),σ2()=doncσ2=Id . Ainsiσest une symétrie.
Supposonsα+β+γ+δ=0 avecα,β,γ,δ∈ℂ
O−αγ++δαβγ+−δδ=0 0donc aisémentα=β=γ=δ=0 .
n a 0 0
(,,, 4 libre et formée de) est=dimℂ2(ℂ de) éléments2(ℂ une base.) , c’en est donc
−
σ()=,σ()= −,σ()=etσ()= −donc Mat(,,,)(σ)=diag(1,−1,−1,−1) .
 ,=′′′′,=++′′′′++′′′′.
= 
σ()=−−,σ()= −′′−′′,σ()σ()= −(′′++′′)−(′′++′′) =σ() .
=,σ()=−−,σ()=0−−0+=(−)=det..
detσ()=detdoncest inversible ssiσ() l’est.
Si tel est le cas :σ()=det.donne−1=1dtσ() .
e
σ()=tr().−
.

Partie II

Soit=∈2(ℂ) .
 
   − 
σ()=⇔=− ⇔=et= −
 

=  ℂ.
Par suite−/,∈
Or pour,∈ℂet∀,∈:
  
 =α+β+γ+δ⇔α=Re(),β=Im(),γ=Re() etδ=Im() .
−
Donc= {α+β+γ+δ/α,β,γ,δ∈ℝ}.
= {α+β+γ+δ/α,β,γ,δ∈ℝ} =Vectℝ(,,,) .
est donc un sous-espace vectoriel duℝ-espace vectoriel2(ℂ) .
La famille (,,, libre dans le) étantℂ-espace vectoriel2(ℂ I.1.b), elle l’est aussi dans le) (cf.
ℝ-espace vectoriel2(ℂ donc constitue une base de) et. Par suite dimℝ=4 .
∀,∈,σ()=σ()σ()==() donc∈.
2=2=2= −,=,= −,=,= −,=et= −.
⊂2(ℂ) ,∈,∀,∈,−∈(carsous-espace vectoriel)∈(ci-dessus) donc
est un sous-anneau de2(ℂ) .
Le produit n’est pas commutatif.

3.a.

3.b

1.a

1.b

1.c

2.

3.a

3.b

3.c

4.a

Soit∈. On aσ()=donc=σ() i.e.σ(σ())=σ( donc) etσ()∈.
=donc tr=tr=tr=trdonc tr∈ℝ.
Po= −  ∈. det=2+2∈ℝ+.
ur 

= ≠es deux cas det>0 doncest inversible.
Si 0 alors≠0 ou≠ dans l0 mais
−
11
−=detσ() . Orσ()∈donc−1∈.

Partie III

σ()+σ()∈donc sa trace est réelle.
(|)=(241rtσ()) , orσ()=det.donc (|)=det.
La linéarité du produit matriciel, deσ (.l’application trace donne sans peine la bilinéarité deet de | .)
L’expressionσ()+σ() est symétrique enetsont (. | .) est symétrique.
∀∈, (|)=det∈ℝ+.
Si (|)=0 alors=0 comme on l’a déjà vu en II.3.b.
Comme tr()=tr()=tr()= (0 , c’est sans peine qu’on observe que la famille,,,) est
orthogonale.
De plus det=det=det=det= donc la famille est orthonormale.1 ,
Enfin, on a déjà vu que (,,,) est une base de, on peut donc parler de base orthonormée.
Soit∈. On peut écrire=α+β+γ+δavec
α=(|),β=(|),γ=(|);δ=(|)∈ℝ.
On a alors tr=2αet par suite∈⇔(|)=0 .
Doncest l’hyperplan dontest vecteur normal et doncla droite normale.
De plus,,appartiennent àet forme une famille orthonormée de 3=diméléments, c’est donc
une base orthonormée de.
Puisque ( une base orthonormée de) est,()=(|)=1tr()..

2
Puisqueest la projection complémentaire de,=−et donc()=−t1r()..
2
σ()=tr().−doncσ=2− ainsiId etest la symétrie orthogonale d’axe.
=α+β+γ+δ,=α′+β′+γ′+δ′.
()=α,()=β+γ+δ,()=α′et()=β′+γ′+δ′.
()==(αα−′(ββ+′γγ+′δδ′))=()()−(() |())
et()=α(β′+γ′+δ′)+α′(β+γ+δ)+(γδ−′γ′δ)+(δβ′−δ′β)+(βγ′ −β′γ)
où on reconnaît()=()(