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Correction : Algèbre linéaire, Matrices magiques

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Langue Français

Exrait

d’après Centrale TSI 1997

1.a

1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

Correction

Partie I

etsont bien des sous-espaces vectoriels de3(ℝ) .
Si∈∩alors=et= −donc=0 . Par suite∩= {0}.
Soit∈3(ℝ) . Posons=1(2+) et=(12−) .
On a∈,∈et=+donc+=3(ℝ) .
Finalementetsont supplémentaires dans3(ℝ) .
   
=  /,,,,,∈ℝ =Vect(1,…,6)
  
avec1=1,2=4,3=9,4=2+,45=3+et6=6+8.
La famille (1,…,6) est clairement libre et donc forme une base de.
Par suite dim=6 et dim par supplémentarité=3 .
   
=ℓ/,,,,ℓ,,,,−−ℓ∈ℝ =Vect(1,…,8) .
 −−ℓ
avec1=1−9,2=2,3=,34=,45=5−,96=,67=et8=8.
est donc un sous-espace vectoriel de3(ℝ ( comme la famille) et1,…,8) est clairement libre,
dim=8 .
Soit,∈3(ℝ) etλ,∈ℝ. Pour tout∈ {1,…,8}, on a(λ+)=λ()+() .
Par suiteλest linéaire.
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0

=Mat,(ϕ)= .0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0
En notant1,…,8les lignes de la matrice ci-dessus, on observe que1+2+3=4+5+.
Par suite rg=rg(1,…,8)=rg(2,…,8) .
Supposonsλ22+⋯+λ88=0 :
λ4+λ7=0
λ=0λ5=0
5
λ6+λ8=0λ3=0
On obtient le systèmeλ2+λ5+λλ27++λλ84==mésia ennod iuq 00: ent λλ74==0 .0
λ2+λ6=0λ2=0
λ3+λ4+λ8=0λ6=0
λ3+λ5=0λ8=0
λ3+λ7=0
La famille (2,…,8 rg libre :) étant=rg(2,…,8)=7 .

2.d

3.a

3.b

3.c

4.a

4.b

4.c

5.

Par le théorème du rang : dim kerϕ=dim3(ℝ)−rgϕ=2 .
=Vect((1,… un sous-espace vectoriel de,1)) estℝ8et=ϕ−1() doncest un sous-espace
vectoriel car image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire.
∩etsont bien des sous-espaces vectoriels de.
Soit∈∩∩.
Puisque∈, on peut écrire=λavecλ∈ℝ.
Puisque∈, on aλ+λ+λ=0 doncλ=0 puis=0 . Ainsi∩∩= {0}.
Soit∈. Posonsλ=7() 3 et=−λde sorte que∈.
On a=+λavec∈∩etλ∈ (. Ainsi∩)+=.
Finalement∩etsont supplémentaires dans.
Les matrices magiques de trace nulle correspondent bien aux éléments de kerϕ.
Par suite dim∩= comme2 et dim=1 on a par supplémentarité dim=3 .
1−1 0
= − convient.1 0 1

0 1−1

0
=1
1

−1
0
1

1
−1 convient.
0

Considérons la famille (,,) .
α+γ
Supposonsα+β+γ=0 . On a−α+β+γ
−β+γ

−α−β+γ
γ
α+β+γ

β+γ 0
α−β+γ=0
−α+γ 0

0
0
0

0
0
0

qui donne aisémentα=β=γ=0
.
La famille (,,) est libre et formée de 3=diméléments de, c’est donc une base de.
 
= =
−α−βα++γγ=12⇔αγ=2−1
.
β+γ=3β=1
1 2 3
La matrice cherchée est 4 2 0 .
1 2 3