Correction : Algèbre linéaire, Polynômes factoriels

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Polybômes. Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 160
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

Correction

Partie I

Il est clair que∀∈ℝ,()∈ℝdonc:ℝ→ℝ.
De plus, soitλ,∈ℝet,∈ℝ:
(λ+)=(λ+)(+1)−(λ+)()
=λ((+1)−())+((+1)−())=λ()+()
doncest linéaire et par suite ∈(ℝ) .
Siest constant égal àλ∈ℝalors()=λ−λ=0 .
Si deg≥ en posant1 alors,=deg, on peut écrire=+...+1+0avec≠0 .
()=((+1)−)+−((+1)−1−)+...+1((+1)−)
1
Or (+1)−=1−1+2−2+⋯+est de degré− donc1 ,

deg(((+1)−))=−1 et deg((−1((+1)−1−−1)+...+1((+1)−))<−1 .
Par degré, d’une somme de polynômes de degrés distincts, deg()=−1=deg−1 .
De part la question précédente :∀∈ℝ deg(, on a())≤deg−1 .
Par suite∀∈ℝ, deg()<donc()= ()∈ℝ.
Ainsi:ℝ→ℝ. De plusest linéaire, carl’est. Ainsi∈(ℝ) .
Soit∈ℝ.
Si deg≤0 alors()= ()=0 donc∈ker.
Si deg≥1 alors deg(())=deg−1 donc()≠0 puis∉ker.
Finalement ker=ℝ0.
Par le théorème du rang : rg()=dimℝ−dimℝ0=+1−1=.
m ⊂ℝ.
Puisque∀∈ℝ, deg()≤deg−1≤− a1 on()∈−1[] puis I −1
Par inclusion et égalité des dimensions : Im=ℝ−1.
Soit∈ℝet∈ℕtel que−1≥deg.
On a∈ℝ−1=Imdonc∃∈ℝtel que()=i.e. :()=.
Ainsiest surjectif.
Existence :
Soit∈ℝ, par la surjectivité de,∃∈ℝtel que()=.
Posonsλ=(0) et=−λ
.
On a(0)=−=0 et()= ()− (λ)=.
Unicité :
ˆ
Soit,deux solutions du problème.
On a(−ˆ)= ()− (ˆ)=−=0 donc−ˆ est un polynôme constant en vertu de 1.b
ˆ
Puisque (−ˆ)0()=(0)−ˆ)0(=0 , on conclut−=0 puis=.ˆ
On a∇:ℝ→ℝ. Soitλ,∈ℝet,∈ℝ
(λ∇()+∇())=λ(∇())+(∇())=λ+et
(λ∇()+∇())(0)=λ∇()(0)+∇()(0)= on reconnaît0 doncλ∇()+∇()= ∇(λ+) .
Ainsi∇ ∈(ℝ) .

3.d

1.a

1.b
1.c
2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

Posons= ∇() de sorte que()=.
  
∑()=∑()()=∑(+1)−()=(+1)−(0)=(+1)
=0=0=0

Partie II

(0)=0 .
()=1![(+1)…(−+2)−(−1)…(−+1)]

….
donne ()1(1![ ]1
= −) (−+2)+1−(−+1)=
−
Si≤alors()=−et si>alors()=0 .
Puisque0(0)=1 et(0)=0 , on a()(0)=1 si=et()(0)=0 sinon.
deg=. La famille=(0,1,…, une famille de polynômes de degrés étagés, c’est donc) est
une base deℝ.

Soit∈ℝ, puisqueest une base,∃λ0,λ1,...,λ∈ℝtels que=∑λ.
=0
 
∀∈ {0,…,},()=∑λ() puis()(0)=∑λ()(0)=λ.
=0=0

Par suite=∑()(0).
=0
Puisque(+1)=et+1(0)=0 , on a∇()=+1.

Par suite∇()=∑()(0)+1.
=0
0(3)=3,(3)=32+3+1,(2)3=6+6 et3(3)=6
donc0(3)(0)=0,(3)(0)=1,(2)3(0)=6 et3(3)(0)=6 .
Par suite∇(3)=(2−1)+(−1)(−2)+(−1)(4−2)(−3)
puis∇(3)=(4−1)(2+4−8+2−5+6)=2(4−1)2.
32(1)2
∑=0=4+.