Correction : Géométrie, Courbes de Bézier

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes paramétrées. Géométrie affine.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 23
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

d’après CCP PSI 2000

1.a

1.b

2.a

2.b

2.c

2.d

1.

2.a

Correction

Partie I

1,()=1(0,1)()=(1−)0(0)()+(0)1()=(1−)+0.
1,()=((0, (1−)), (,1)) avec∈0,1 .
La trajectoire de1,est le segment0,1.
(0)=3(0,1,2)(0)=2(0,1)(0)=(1)0(0)=
De même(1)=2.
1
2()=3(0,1,212)()=122(0,1)12+12(2,1)212
1 1 1 1 1 1 1
=220+21+221+22=20+121=[,0]
()=(1−)2+2(1−)+2avec (1−)2+2(1−)+2=1 .
0 1
()=2−1 et()=22−2+1=21()2+. 12
La trajectoire deest incluse dans la parabole d’équation=212+. 21

Partie II

(⇐) immédiat, en prenant=2 .
(⇒) Supposonsconvexe.
Par récurrence sur∈ℕ∗
Pour=1 : ok
Supposons la propriété établie au rang≥1
+1
Soit1,…,+1∈etλ1,…,λ+1∈ℝ+tel que∑λ=1 .
=1
+1
Siλ+1=1 alors∑λ=+1∈puisqu’alorsλ1=…=λ=0 .
=1
+1λλλλ
Siλ+1≠1 alors∑=1 =(1−+1)∑=11−λ+1++1+.
Or∑11λλ1=11−λλ+11=1 donc∑λ=∈
=−+−+=11−λ1
+
+1
puis∑λ=(1−λ+1)+λ+1+1∈puisqueλ+1∈0,1 .
=1
Récurrence établie.
∀∈on a⊂donc⊂∩.
∈
Soit,∈∩etλ∈0,1 .
∈
∀∈, on a,∈donc (1−λ)+λ∈puisqueest convexe, par suite
(1−λ)+λ∈∩.
∈
Ainsi∩est un convexe qui contient.
∈

2.b

2.c

2.d

3.

1.a

(⇒) Siest convexe alors∈donc∩⊂.
∈
D’autre part⊂∩est toujours vrai donc=∩=() .
∈ ∈
(⇐) Si=() , sachant que( convexe,) estl’est aussi.
Si⊂alors⊂() .
Le convexe( un donc élément de l’ensemble) estformé des convexes qui contient.
Comme()=∩, on a()⊂() .
∈
Notonsl’ensemble égal au second membre de l’égalité.
De part II.1, il est clair que⊂() .
D’autre part, on observe que⊂.
Pour conclure, il ne reste plus qu’à montrer queest convexe.
Soit,∈on peut écrire :
   
=∑λet=∑avec,∈etλ,≥ que0 tels∑λ=1 et∑=1 .
=1=1=1=1
Soitλ∈0,1 .
   
(1−λ)+λ=∑(1−λ)λ+∑λavec∑(1−λ)λ+∑λ=1−λ+λ=1 donc
=1=1=1=1
(1−λ)+λ∈.
Ainsiest convexe.
⊂donne alors()⊂()=.
Par double inclusion()=
.
Par récurrence sur∈ℕ∗.
Pour=1 : ok (trajectoire constante égale au point)
Supposons la propriété établie au rang≥1 .
Soit=(0,…,+1)∈+.
∀∈0,1 ,+1,()=(1−)+avec
=(0,…,)()∈({0,…,})⊂() et
=(1,…,+1)()∈({1,…,})⊂()
Sachant() convexe,+1,()∈() .
Récurrence établie

Partie III

Par récurrence sur∈ℕ∗.
Pour=1 : ok avec0,0:֏1 .
Supposons la propriété établie au rang≥1 .
Soit=(0,…,+1)∈+.
∀∈0,1 ,+1,()=(1−)+avec
 
=(0,…,)()=∑,()et=(1,…,+1)()=∑,()+, donc
=0=0
 
+1,()=∑(1−),()+∑,()+1
=0=0


=(1−),0()0+∑((1−),()+,−(1))+,()+
=1

1.b

1.c

2.a

2.b

1.a

1.b

1.c

2.

3.a

3.b
4.a

4.b

5.

++1,0()=(1−),0()+−≤≤
En prenant1,()=(1−),( ),(1)1
+1,+1()=,()
+1
On obtient+1,()=∑1,()
+.
=0
De plus, les,étant des fonctions polynomiales de degré inférieur à, les+1,sont des fonctions
polynomiales de degré inférieur à+1 .
Récurrence établie.
=0=1=2=3
= *0 1 * *
=1 1− * *

=2 (1−)22(1−)2*
3 2 2 3
=3 (1−) 3(1−) 3(1−) (1−)
,()= (1−)−convient.
11
,,()11
=∑0 =∫0∑=0 =∫0=.
Pour 0≤<on a :
,=∫10(1−)−
1−∫1101
=?