Correction : Géométrie, Etude de l'astroïde

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées cartésiennes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 68
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.a

1.b

1.c

2.a

Correction

(−)=()
(−)= −()on dal cuoc ebr tsetriqsyméar rue ptrà paopexd l a’cibs aes. esss
(π−)= −(d n)o
(π−)=(rbe est c la coup eur raémysqirt’a l dxepoap àrt .énsedrnoseo )
( 2)()
do
(ππ2−−)==(ppar troal àerp ym sriéte qur pa.e mière bissectric)st ebeurcoa lnc
(2 )()
 +ππ=  , tuep no)utedl é’à resdoncndretrei∈ −π,π.
(+2 )=(
On obtient alors directement l’intégralité de la courbe.
Les symétries précédentes permettent de réduire l’étude à 0,π, 0,π2 puis 0,π4 .
On obtiendra l’intégralité de la courbe en complétant par les symétries proposées.
 () est∞sur 0,π4 .
֏
( ) 3sin cos2′)=00
′′()==3−cossin,′(⇔ =.
2()=0⇔=0
0π40π4
1 1 23
()ց,
3()ր
1 2 0

1
En=0 ,(0) est un point singulier.
0
+
′′′′(())= −s3sconi333+nsiso6c622nociss,′′′′0)(()0==0−3 .
= −
En y a une tangente horizontale qui est l’axe des abscisses.(0) il
Puisque(−) est symétrique de() par rapport à l’axe des abscisses,(0) est un point de
rebroussement de première espèce.
3
1 2
En=π4 ,(π4)3admet une tangente de pente−1 .
1 2

dd=′2()+′2()=3 sincos.
=−ππ3 sincosd=12∫π2sincosd=3[−cos 2]0π2=6 .
0
     
()=cosα⋅+sinα⋅et()= −sinα⋅+cosα⋅avec
dddsincos2
cosα= = = −
dddsincos

.
sinα=d=dd=cossin2
dddsincos


2.b

2.c

2.d

2.e

3.a

3.b

4.a

4.b


Si sincos>0 alorssinoscα=s−cnios,α=π−est une détermination angulaire convenable.
α=
Si sincos< d e term0 alors
oscinαα−==nssico,α= − ination éest un angulaire convenable.
s
.
Dans les deux cas :1()=ddα=ddαdd= −3 sincos1puis()= −3 sincos

Si() est régulier alors :
 3cossin2cos33cos sin2
()()=()(s3)nicos2puis(in)s3++3sincos2.
Si() est irrégulier sincos= la formule ci-dessus est encore valable.0 et
() ( )( )(cos33sin cos2)(sin33cos sin21
=  +  =+ ⋅+− )⋅et=(2−) ,
 
=1(+) donne :
2
()=12(cos3+3sincos2+3cossin2+sin3)=21(cos+sin)3
.
()=1(−cos3+3sincos2−3cossin2+0sin3)=1(−cos+sin)3
2 2
cos+sin=2 (cos(−π4)) et−cos+sin=2(sin(−π4)) donc(())==os2c2sin33ττ.
La courbe′apparaît donc comme l’image depar la rotation de centreet d’angleπ4 (qui
transforme le repèreen′) composée avec l’homothétie de centre fait 2 (quiet de rapport
apparaître le facteur 2 dans la description du système).
Si() est régulier alors :
() : sin(−cos3)+cos(−sin3)=0 ou sin⋅+cos⋅=sincos.
Si( irrégulier, l’expression est encore valable.) est
0
()0 et ()avec=coset=sin. On a()()=1 .

sin⋅1osc2+cos⋅nis12=sincosdonc∈() .

1cos
Soitle symétrique depar rapport à l’axe () .−1i2 (. La droite parallèle à) est() .
s n
2
Pour construire( () , on représente la parallèle à) passant par.

 asin⋅+cos⋅=cossin(∈(t oi)) s=cossin2.
vec
−cos⋅+sin⋅=0 (⊥())=cos2sin
 cos
+donc+=2.

sin
  
( construite ci-dessus, on détermine) étantpuispar la relation :=2−.

()













