Correction : Géométrie, Théorème de Lucas

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Géométrie du plan. Polynômes. Fractions rationnelles.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 26
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.a

2.b

3.a

3.b

4.a

4.b

4.c

4.d

Correction

Partie I

Soit∈,. Il existeλ∈0,1 tel que=λ+(1−λ).
Pour=1−λ, on a∈0,1 et=+(1−)donc∈,.
Ainsi,⊂,. Par un raisonnement symétrique,,⊂,puis l’égalité.

Soitα,β∈,. Il existeλ,∈0,1 tels queα=λ+(1−λ)etβ=+(1−).
Soit∈α,β. Il existeγ∈ que0,1 tel=γα+(1−γ)β.
Mais alors=(γλ+(1−γ))+(γ(1−λ)+(1−γ)(1−))=θ+(1−θ)avec
θ=γλ+(1−γ)≥0 et 1−θ=γ(1−λ)+(1−γ)(1−)≥ sorte que0 deθ∈0,1 .
Ainsi∈,puisα,β⊂,. Finalement,est convexe.

Soit,∈. On a,≤1 .
Soit∈,. Il existeλ∈0,1 tel que=λ+(1−λ).
≤λ+(1−λ)=λ+1−λ=λ+(1−λ)≤λ+(1−λ)=1 donc∈.
Ainsi,⊂. Finalementest convexe.

Soit,∈. Pour tout∈,,∈donc,⊂carconvexe.
Par suite,⊂∩=. Ainsiest convexe.
∈
Par récurrence sur∈ℕ* .
Pour=1 :∀1∈,∀λ1>0 on a :=λ1λ1=1∈.
1
Supposons la propriété établie au rang≥1 .
Soit1,…,,+1∈etλ1,…,λ,λ+1>0 .
=λ11+⋯+λ+λ+1+1=λ11+⋯+λ×λ1+⋯+λ+λ+1+1

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
λ1+ +λ+λ+1λ1+ +λλ1+ +λ+λ+1λ+1+λ+λ+
⋯
donc=+(1−)+1avec=λ1λ1++⋯++λλet=λ+λ1++λ+λλ+1.
1⋯1⋯+
Puisque∈0,1 , on obtient∈,+1, or par hypothèse de récurrence∈et puisque+1∈et
queest convexe, on conclut∈.
Récurrence établie.
En vertu de 3.a, l’intersection d’une famille de convexes étant un convexe, on peut assurer que Conv()
est convexe. De plus, pour tout∈, on a⊂donc⊂∩=Conv() .
∈
Siest une partie convexe deℂcontenantalors∈ Conv(et donc)⊂car une intersection
est incluse dans chacune des parties intersectées.
D’une part,,∈,et, Conv(est convexe donc)⊂,.
D’autre part,,∈Conv() et Conv( convexe donc) est,⊂Conv() .
Finalement Conv()=,.

⊂etest convexe donc Conv()⊂.
Inversement, soit∈.

Si=0 alors∈ −1,1 avec−1,1∈donc=0∈Conv() .

1.a

1.b

2.a

2.b

3.

Si

≠ posons0 alors


=


de sorte que∈⊂Conv()

On a∈, 0 car= +(1−).0 avec∈0,1 .
Or, 0∈Conv() et Conv() est convexe donc, 0⊂Conv() puis∈Conv() .
Ainsi⊂Conv() puis Conv()=.

Partie II

Les racines desont lesde multiplicitéα. Celles-ci sont racines de′de multiplicitéα−1 , par
suite les pôles de′sont leset ce sont des pôles de multiplicitéα−(α−1)=1 .

En introduisantλcoefficient dominant de, on peut écrire=λ∏(−)α.
=1
=′λ∑α−α−∏−αdonc′α
On a ( )1( )=∑.
==1−
1 1=
≠

′()=′()=0 donc∑=1−α=0 puis=∑1α(−−2)= en conjuguant on obtient la relation0 et
()
voulue.
On a∑α2=∑α2donc=λ11+⋯+λα
=1− =1−λ1+⋯+λavecλ=−2>0 .

Notons=Conv{1,…,}.
Par l’étude ci-dessus : siest racine de′sans être racine dealors on peut écrire
=λ11+⋯+λavecλ>0 et∈convexe
λ1+⋯+λ. Puisqueen vertu de I.3.b, on a est ,∈.
Siest racine de′et racine dealorsest l’un deset donc∈.
Dans les deux cas, les racines de′appartiennent à.