Correction : Géométrie, Triangles équilatéraux inscrits sur une hyperbole

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Coniques. Géométrie du plan. Polynômes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

Correction

d’après E4A PSI 2001
1.a,,avec≠0 donc((+++)+3) 3.
1.b Par intersections des hauteurs :−−2donc∈(γ) .
 

2.a
2.b

2.c

3.a

3.b

4.

Pour un triangle équilatéral=.
,,sont les racines de() avec()=3−σ12+σ2−σ3oùσ1=++,
σ2=++etσ3=.
L’identification des coordonnées deetdonne :
σ1=3λetσ2= −3σ232. Orσ3= −2λdonc on parvient au polynôme proposé.
λ avecλ2≠carnon somme
λ( t ( deγcercle circonscrit dont l’équation est : le centre du ) est
−+−2=av
(λ)2λ2ec===.
Les abscisses des points intersections de ce cercle et de (γ) sont les solutions de l’équation :
(−λ)2+21λ12t encore2λ2(−λ)2+2(λ−)2−λ222=0 .
− =soi
Cette équation (de degré 4) possède quatre racines (comptées avec multiplicité) parmi lesquels,,.
Par relation coefficients racines, on obtient : La quatrièmevérifie+++=2λdonc
=2λ−(++) . Orλ=(++) 3 donc=2λ−3λ= −λ
.
−
Finalementλλ(symétrique depar rapport à l’origine).
−

(0)()<0 .
Si>0 alors lim= −∞,(0)>0 ,()<0 et lim= +∞.
−∞ +∞
L’application du théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence de racine dans chacun des
intervalles−∞ 0, ,, 0et,+∞.
Si<0 ,manière semblable des racines dans chacun des intervalles on obtient de −∞,,, 0 et
,+∞.

Les relations coefficients racines d’un polynôme donnent :1+2+3=3,12+23+31=3 te
123
2
123= −.

Soitle centre de gravité etl’orthocentre du triangle123.
Par les relations précédentes, on aetet donc=. Par suite123est équilatéral.

Partant d’un pointsur (γ) , on considère on symétriquepar rapport à l’origine. L’intersection
de (γ) et du cercle de centrepassant pardéfinit 3 points,,. En effet l’équation définissant
les abscisses des points intersection est comme on l’a vu par les calculs précédents une équation de degré
4 de la forme :
(−)()=0 avec les racines déterminent les abscisses des points dontde la forme étudiée en 3.b
,,. Le triangleest alors équilatéral et par l’étude précédente on peut aussi affirmé que tout
triangle équilatéral sur (γ être ainsi construit.) peut