Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Polynômes

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 314
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Polynômes

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ECS 1

POLYNOMES     Dans tout le chapitre,K désignera soit  , soit  . On remarquera que dans les deux cas ⊂K de polynômes à coefficients réels ou complexes.. On parlera I - Généralités 1) Fonctions monômes Définition : Une fonctionfest une fonction monôme s’il existe un entier n∈ et un élémenta∈Ktels que : ∀x∈K f(x)=ax n . Sia=0 alors ∀x∈K f(x)= 0 . On dira quefest le monôme nul. , Réciproquement, si ∀x∈K f(x)= 0 , alors a=f(1)= 0 . Sia≠0 , alors on peut remarquer quea etn uniques. En effet, supposons que sontf  admette deux décompositions : ∀x∈K f(x)=ax n =bx p avecaetbnon nuls. Tout d’abord on remarque que a=b=f  Si(1) .n≠p, l’un d’eux est plus petit que l’autre, par exemple p<n . Or : ∀x∈K x n =x p , donc ∀x∈x n =x p , donc ∀x∈*x n−p = 1. Or c’est impossible car n−p>  20 , donc n−p >1 . Définition : Sifest une fonction monôme non nul, il existe un unique entier n∈ et un uniquea∈Ktels que : ∀x∈K f(x)=ax n . L’entiernest le degré du monôme et amonôme. Par convention, le degré du monôme nul estle coefficient du −∞ . Notation : La fonction monômeest notéeX, et doncxx n est notéeX n . Donc tout monôme non nul s’écrit de manière uniqueaX n avecaetnuniques. 2) Fonctions polynômes Définition : Une fonctionPest une fonction polynôme si c’est la somme d’un nombre fini de fonctions monômes. Si toutes les fonctions monômes sont nulles, alors ∀x∈K P(x)=  On dira que0 .P  est le polynôme nul. Sinon, comme c’est une somme finie, on désigne parn le plus haut des degrés des monômes non nuls. Donc il existe un entier n∈  et des coefficients réels ou n complexes (a 0 ,a 1 ,...,a n )∈K n+1 aveca n ≠0 tels que : ∀x∈K P(x)=  a k x k . k=0 Montrons par récurrence surnquePne peut pas être le polynôme nul. Initialisation évidente pourn=0 . Hérédité : On suppose, pour n∈  coefficients  ( , que s’il existe des a 0 ,a 1 ,...,a n )∈K n+1   n aveca n ≠ que :0 tels ∀x∈K P n (x)=  a k x k , alorsP n n’est pas le polynôme nul. k=0 Montrons la propriété pourn+1. SoitP n+1 un polynôme tel qu’il existe des coefficients n+1 (b 0 ,b 1 ,...,b n+1 )∈K n+2  avecb n+1 ≠ :0 vérifiant ∀x∈K P n+1 (x)=  b k x k . Montrons k=0 en raisonnant par l’absurde queP n+1 n’est pas le polynôme nul. Supposons que∀x∈K P n+1 (x)=0. Donc en particulier,P n+1 (0)=0 , doncb 0 =0 .