Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Calcul différentiel
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01 janvier 2011
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Calcul différentiel - 1 - ECS 1
CALCUL DIFFERENTIEL
I – Etude locale
1) Dérivabilité en un point
Définition : Une fonction f, définie en a et au voisinage de a, est dérivable en a si son
f (x)− f (a)
taux d’accroissement, c’est-à-dire le quotient , admet une limite réelle
x− a
quand x tend vers a. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et notée f '(a) :
f (x)− f (a) f (a+ h)− f (a)
f '(a) = lim = lim .
x→a x− a h→0 h
2Exemple : f (x) = x + x+ 2 au point a = 1. Donc f (a) = 4 .
f (x)− f (1)2f (x)− f (1) = x + x− 2= (x−1)(x+ 2) . Donc lim = lim(x+ 2) = 3.
x→1 x−1 x→1
Donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé est f '(1) = 3 .
Remarque : Avec l’autre expression, on trouve le même résultat :
f (1+ h)− f (1)2 2f (1+ h) = (1+ h) + (1+ h)+ 2= h + 3h+ 4 et lim = lim (h+ 3) = 3.
h→0 h→0h
Autres exemples : Plus généralement, on retrouve toutes les dérivées usuelles.
f (a+ h)− f (a)
On suppose que la fonction f est dérivable en a, donc f '(a) = lim .
h→0 h
f (a+ h)− f (a)
On peut remarquer que si l’on pose ε(h) = − f '(a) ,
h
alors limε(h) = 0 . Et f (a+ h)= f (a)+ hf '(a)+ hε(h) .
h→0
Théorème : Si une fonction f est dérivable en a, alors il existe un voisinage V de 0 et
une fonction ε définie sur V tels que :
∀h∈V f (a+ h) = f (a)+ hf '(a)+ hε(h) avec limε(h)= 0 .
h→0
Donc lim f (a+ h) = f (a) . Donc lim f (x)= f (a) .
h→0 x→a
Théorème : Si une fonction f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Remarque : Toute fonction dérivable en a est continue en a. Mais la réciproque est
fausse : une fonction peut être continue en a, mais pas dérivable en a.
Exemple : f (x) = x en . Elle est continue, mais pas dérivable : a = 0
f (x)− f (0) x 1
lim f (x) = lim x = 0= f (0) mais : lim = lim = lim = +∞ .
+ + + + +
x→0 x→0 x→0 x− 0 x→0 x x→0 x
2) Développement limité d’ordre 1
On remarque de plus que si f est dérivable en a, ha f (a)+ hf '(a) est un polynôme
du premier degré et que hε(h) est produit de deux termes qui tendent vers 0, donc est
négligeable devant les termes de ce polynôme.
Définition : Une fonction f définie sur un voisinage V de 0 admet en 0 un
développement limité d’ordre 1 s’il existe un polynôme P avec d°P ≤ 1 et une
fonction ε tels que : ∀x∈V f (x) = P(x)+ xε(x) avec limε(x)= 0 .
x→0
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeCalcul différentiel - 2 - ECS 1
Définition : Une fonction f définie sur un voisinage V de a admet en a un
développement limité d’ordre 1 s’il existe un polynôme P avec d°P ≤ 1 et une
fonction ε tels que : ∀x∈V f (x) = P(x− a)+ (x− a)ε(x) avec lim ε(x) = 0.
x→a
En posant h = x− a , c’est équivalent à : f (a+ h)= P(h)+ hε(a+ h) et lim ε(a+ h) = 0 .
h→0
Donc les deux phrases suivantes sont équivalentes :
• f admet en a un développement limité d’ordre 1.
• la fonction xa f (a+ x) admet en 0 un développement limité d’ordre 1.
On peut remarquer que si f est dérivable en a, alors f admet un développement limité
d’ordre 1.
Réciproquement, si f admet en a un développement limité d’ordre 1 : il existe deux réels
α et β , et une fonction ε tels que : f (x)= α+β(x− a)+ (x− a)ε(x) et lim ε(x) = 0.
x→a
f (x)− f (a)
Pour x = a : f (a) = α et lim =β , donc f est dérivable en a et f '(a) =β .
x→a x− a
Théorème : Une fonction f définie au voisinage de a admet en a un développement
limité d’ordre 1 si et seulement si f est dérivable en a. Il s’écrit :
- soit f (a+ h)= f (a)+ hf '(a)+ hε(h) avec limε(h) = 0 .
h→0
- soit f (x)= f (a)+ (x− a) f '(a)+ (x− a)ε(x) avec limε(x) = 0 .
x→a
Dans le cas des fonctions usuelles en 0, on obtient :
Développements limités usuels en 0 :
Si f est dérivable en 0 : f (x) = f (0)+ xf '(0)+ xε(x) avec limε(x) = 0
x→0
x α ln(1+ x) = x+ xε(x) e = 1+ x+ xε(x) (1+ x) = 1+αx+ xε(x)
1 1 1
1+ x = 1+ x+ xε(x) = 1− x+ xε(x) = 1+ x+ xε(x)
2 1+ x 1− x
sin x = x+ xε(x) cos x = 1+ xε(x) tan x = x+ xε(x)
Cela permet de rédiger différemment certaines recherches de limites.
3x+ 4 − 2
Exemple : Pour trouver lim , on peut remarquer que :
x→0 3− 2x+ 9
3 3 3
3x+ 4 = 2 1+ x = 2 1+ x+ xε (x) = 2+ x+ 2xε (x) avec limε (x) = 0 . 1 1 1 x→04 8 4
2 1 1
2x+ 9 = 3 1+ x = 3 1+ x+ xε (x) = 3+ x+ 3xε (x) avec limε (x) = 0 . 2 2 2 x→09 9 3
3 3
x+ 2xε (x) + 2ε (x)1 13x+ 4 − 2 94 4Donc : lim = lim = lim = −
0x→0 x→0 1 x→ 1 43− 2x+ 9 − x− 3xε (x) − − 3ε (x)2 2
3 3
On peut aussi raisonner sur des équivalents : f (x)− f (a) ~(x− a) f '(a) si f '(a) ≠ 0
a
1 1
Donc x − a ~ (x− a) . Donc 3x+ 4 − 4 ~ (3x) car lim 3x = 0 .
a 0 x→02 a 2 4
3 1 3x+ 4 − 2 9
Donc : 3x+ 4 − 2 ~ x et de même 2x+ 9 − 3~ x . Donc ~− .
0 0 04 3 43− 2x+ 9
En économie ou en physique, on utilise aussi des approximations du genre : pour h
suffisamment petit f (a+ h)≈ f (a)+ hf '(a) .
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeCalcul différentiel - 3 - ECS 1
3) Dérivabilité à gauche et à droite
Définition : Une fonction f est dérivable à gauche (respectivement à droite) de a si son
taux d’accroissement admet en a une limite réelle à gauche (respectivement à droite).
f (x)− f (a) f (x)− f (a)
On note f ' (a) = lim et f ' (a) = lim . g d
− +x− a x− ax→a x→a
f (x)− f (2)
Exemple : f (x) = x x− 2 en 2. Donc f ' (2) = lim = lim (−x) = −2 . g
− −x− 2x→2 x→2
f (x)− f (2)
Et : f ' (2) = lim = lim x = 2 . d + −x− 2x→2 x→2
Théorème : Une fonction f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à
gauche et à droite de a et si f ' (a) = f ' (a) . g d
Exemple : f (x) = x . Elle est continue, mais pas dérivable : lim f (x) = 0 = f (0)
x→0
f (x)− f (0) x f (x)− f (0) − x
lim = lim = 1 et lim = lim = −1.
+ + − −− 0 − 0x→0 x x→0 x x→0 x x→0 x
Elle est dérivable à gauche et à droite de 0, mais pas en 0 car f ' (0) ≠ f ' (0) . g d
4) Interprétation géométrique
MSoit f une fonction définie en a et
au voisinage de a. Sur sa courbe
représentative (C), on considère les
points A d’abscisse a et M A
d’abscisse x que l’on suppose
distinct de a.
La droite (AM) a pour coefficient
y − y f (x)− f (a)M A odirecteur = .
x − x x− aM A
Lorsque x tend vers a, M se rapproche de A et si f est dérivable en a, le quotient ci-
dessus a une limite m = f '(a) , la droite (AM) se rapproche de la droite (T) de
coefficient directeur m qui passe par A. Cette droite est la tangente en A à la courbe.
Son équation est : y = m(x− a)+ f (a) .
Théorème : Si la fonction f est dérivable en a, alors sa courbe représentative admet au
point d’abscisse a une tangente d’équation : y = (x− a) f '(a)+ f (a) .
2Exemple : f (x) = x + x+ 2 au point . On a vu que f (1) = 4 et f '(1) = 3 . a = 1
Donc, l’équation de la tangente à la courbe en A(1,3) est y = 3(x−1)+ 4 , donc
y = 3x+1.
Si le quotient a une limite infinie, la droite (AM) se rapproche de la droite verticale qui
passe par A. La courbe a une tangente verticale en A. Mais f n’est pas dérivable.
Exemple : f (x) = x en 0.
Si le quotient a une limite à gauche et une limite à droite différentes, la courbe admet
deux « demi-tangentes », l’une à droite et l’autre à gauche, différentes. On dit que la
courbe admet un point anguleux.
Exemple : f (x) = x x− 2
