Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Calcul différentiel

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 50
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Calcul différentiel - 1 - ECS 1
CALCUL DIFFERENTIEL

I – Etude locale
1) Dérivabilité en un point
Définition : Une fonction f, définie en a et au voisinage de a, est dérivable en a si son
f (x)− f (a)
taux d’accroissement, c’est-à-dire le quotient , admet une limite réelle
x− a
quand x tend vers a. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a et notée f '(a) :
f (x)− f (a) f (a+ h)− f (a)
f '(a) = lim = lim .
x→a x− a h→0 h
2Exemple : f (x) = x + x+ 2 au point a = 1. Donc f (a) = 4 .
f (x)− f (1)2f (x)− f (1) = x + x− 2= (x−1)(x+ 2) . Donc lim = lim(x+ 2) = 3.
x→1 x−1 x→1
Donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé est f '(1) = 3 .
Remarque : Avec l’autre expression, on trouve le même résultat :
f (1+ h)− f (1)2 2f (1+ h) = (1+ h) + (1+ h)+ 2= h + 3h+ 4 et lim = lim (h+ 3) = 3.
h→0 h→0h
Autres exemples : Plus généralement, on retrouve toutes les dérivées usuelles.
f (a+ h)− f (a)
On suppose que la fonction f est dérivable en a, donc f '(a) = lim .
h→0 h
f (a+ h)− f (a)
On peut remarquer que si l’on pose ε(h) = − f '(a) ,
h
alors limε(h) = 0 . Et f (a+ h)= f (a)+ hf '(a)+ hε(h) .
h→0
Théorème : Si une fonction f est dérivable en a, alors il existe un voisinage V de 0 et
une fonction ε définie sur V tels que :
∀h∈V f (a+ h) = f (a)+ hf '(a)+ hε(h) avec limε(h)= 0 .
h→0
Donc lim f (a+ h) = f (a) . Donc lim f (x)= f (a) .
h→0 x→a
Théorème : Si une fonction f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Remarque : Toute fonction dérivable en a est continue en a. Mais la réciproque est
fausse : une fonction peut être continue en a, mais pas dérivable en a.
Exemple : f (x) = x en . Elle est continue, mais pas dérivable : a = 0
f (x)− f (0) x 1
lim f (x) = lim x = 0= f (0) mais : lim = lim = lim = +∞ .
+ + + + +
x→0 x→0 x→0 x− 0 x→0 x x→0 x
2) Développement limité d’ordre 1
On remarque de plus que si f est dérivable en a, ha f (a)+ hf '(a) est un polynôme
du premier degré et que hε(h) est produit de deux termes qui tendent vers 0, donc est
négligeable devant les termes de ce polynôme.
Définition : Une fonction f définie sur un voisinage V de 0 admet en 0 un
développement limité d’ordre 1 s’il existe un polynôme P avec d°P ≤ 1 et une
fonction ε tels que : ∀x∈V f (x) = P(x)+ xε(x) avec limε(x)= 0 .
x→0
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeCalcul différentiel - 2 - ECS 1
Définition : Une fonction f définie sur un voisinage V de a admet en a un
développement limité d’ordre 1 s’il existe un polynôme P avec d°P ≤ 1 et une
fonction ε tels que : ∀x∈V f (x) = P(x− a)+ (x− a)ε(x) avec lim ε(x) = 0.
x→a
En posant h = x− a , c’est équivalent à : f (a+ h)= P(h)+ hε(a+ h) et lim ε(a+ h) = 0 .
h→0
Donc les deux phrases suivantes sont équivalentes :
• f admet en a un développement limité d’ordre 1.
• la fonction xa f (a+ x) admet en 0 un développement limité d’ordre 1.
On peut remarquer que si f est dérivable en a, alors f admet un développement limité
d’ordre 1.
Réciproquement, si f admet en a un développement limité d’ordre 1 : il existe deux réels
α et β , et une fonction ε tels que : f (x)= α+β(x− a)+ (x− a)ε(x) et lim ε(x) = 0.
x→a
f (x)− f (a)
Pour x = a : f (a) = α et lim =β , donc f est dérivable en a et f '(a) =β .
x→a x− a
Théorème : Une fonction f définie au voisinage de a admet en a un développement
limité d’ordre 1 si et seulement si f est dérivable en a. Il s’écrit :
- soit f (a+ h)= f (a)+ hf '(a)+ hε(h) avec limε(h) = 0 .
h→0
- soit f (x)= f (a)+ (x− a) f '(a)+ (x− a)ε(x) avec limε(x) = 0 .
x→a
Dans le cas des fonctions usuelles en 0, on obtient :
Développements limités usuels en 0 :
Si f est dérivable en 0 : f (x) = f (0)+ xf '(0)+ xε(x) avec limε(x) = 0
x→0
x α ln(1+ x) = x+ xε(x) e = 1+ x+ xε(x) (1+ x) = 1+αx+ xε(x)
1 1 1
1+ x = 1+ x+ xε(x) = 1− x+ xε(x) = 1+ x+ xε(x)
2 1+ x 1− x
sin x = x+ xε(x) cos x = 1+ xε(x) tan x = x+ xε(x)
Cela permet de rédiger différemment certaines recherches de limites.
3x+ 4 − 2
Exemple : Pour trouver lim , on peut remarquer que :
x→0 3− 2x+ 9
3 3 3 
3x+ 4 = 2 1+ x = 2 1+ x+ xε (x) = 2+ x+ 2xε (x) avec limε (x) = 0 . 1 1 1  x→04 8 4 
2 1 1 
2x+ 9 = 3 1+ x = 3 1+ x+ xε (x) = 3+ x+ 3xε (x) avec limε (x) = 0 . 2 2 2  x→09 9 3 
3 3
x+ 2xε (x) + 2ε (x)1 13x+ 4 − 2 94 4Donc : lim = lim = lim = −
0x→0 x→0 1 x→ 1 43− 2x+ 9 − x− 3xε (x) − − 3ε (x)2 2
3 3
On peut aussi raisonner sur des équivalents : f (x)− f (a) ~(x− a) f '(a) si f '(a) ≠ 0
a
1 1
Donc x − a ~ (x− a) . Donc 3x+ 4 − 4 ~ (3x) car lim 3x = 0 .
a 0 x→02 a 2 4
3 1 3x+ 4 − 2 9
Donc : 3x+ 4 − 2 ~ x et de même 2x+ 9 − 3~ x . Donc ~− .
0 0 04 3 43− 2x+ 9
En économie ou en physique, on utilise aussi des approximations du genre : pour h
suffisamment petit f (a+ h)≈ f (a)+ hf '(a) .
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeCalcul différentiel - 3 - ECS 1
3) Dérivabilité à gauche et à droite
Définition : Une fonction f est dérivable à gauche (respectivement à droite) de a si son
taux d’accroissement admet en a une limite réelle à gauche (respectivement à droite).
f (x)− f (a) f (x)− f (a)
On note f ' (a) = lim et f ' (a) = lim . g d
− +x− a x− ax→a x→a
f (x)− f (2)
Exemple : f (x) = x x− 2 en 2. Donc f ' (2) = lim = lim (−x) = −2 . g
− −x− 2x→2 x→2
f (x)− f (2)
Et : f ' (2) = lim = lim x = 2 . d + −x− 2x→2 x→2
Théorème : Une fonction f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à
gauche et à droite de a et si f ' (a) = f ' (a) . g d
Exemple : f (x) = x . Elle est continue, mais pas dérivable : lim f (x) = 0 = f (0)
x→0
f (x)− f (0) x f (x)− f (0) − x
lim = lim = 1 et lim = lim = −1.
+ + − −− 0 − 0x→0 x x→0 x x→0 x x→0 x
Elle est dérivable à gauche et à droite de 0, mais pas en 0 car f ' (0) ≠ f ' (0) . g d
4) Interprétation géométrique

MSoit f une fonction définie en a et
au voisinage de a. Sur sa courbe
représentative (C), on considère les
points A d’abscisse a et M A
d’abscisse x que l’on suppose
distinct de a.
La droite (AM) a pour coefficient
y − y f (x)− f (a)M A odirecteur = .
x − x x− aM A
Lorsque x tend vers a, M se rapproche de A et si f est dérivable en a, le quotient ci-
dessus a une limite m = f '(a) , la droite (AM) se rapproche de la droite (T) de
coefficient directeur m qui passe par A. Cette droite est la tangente en A à la courbe.
Son équation est : y = m(x− a)+ f (a) .
Théorème : Si la fonction f est dérivable en a, alors sa courbe représentative admet au
point d’abscisse a une tangente d’équation : y = (x− a) f '(a)+ f (a) .
2Exemple : f (x) = x + x+ 2 au point . On a vu que f (1) = 4 et f '(1) = 3 . a = 1
Donc, l’équation de la tangente à la courbe en A(1,3) est y = 3(x−1)+ 4 , donc
y = 3x+1.
Si le quotient a une limite infinie, la droite (AM) se rapproche de la droite verticale qui
passe par A. La courbe a une tangente verticale en A. Mais f n’est pas dérivable.
Exemple : f (x) = x en 0.
Si le quotient a une limite à gauche et une limite à droite différentes, la courbe admet
deux « demi-tangentes », l’une à droite et l’autre à gauche, différentes. On dit que la
courbe admet un point anguleux.
Exemple : f (x) = x x− 2