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Publié le
01 janvier 2011
Nombre de lectures
185
Licence :
Langue
Français
Poids de l'ouvrage
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Espaces Vectoriels - 1 - ECS 1
ESPACES VECTORIELS
Il s’agit d’étudier les propriétés d’une famille d’ensembles qui possèdent la même
structure. Dans tout le chapitre, K désignera soit soit .
I – Espaces vectoriels
1) Définitions
Définition : Une loi de composition interne dans un ensemble E est une application de
E× E dans E : (u,v)a u+ v .
Exemples : Addition et multiplication dans , addition et multiplication des fonctions
définies sur un ensemble D, addition et multiplication des polynômes, addition des
matrices…
Définition : Une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs dans K
est une application de K× E dans E : (α,u)aαu .
Exemples : Multiplication par un réel des fonctions définies sur un ensemble D,
multiplication par un réel des polynômes, multiplication par un réel des matrices, …
Définition : Un ensemble E est un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel,
s’il est muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition
externe à opérateurs dans K notée . qui vérifient les propriétés :
1. pour tous les éléments u et v de E (commutativité). u+ v = v+ u
2. (u+ v)+ w= u+ (v+ w) pour tous les éléments u, v et w de E (associativité).
3. Il existe un élément (neutre) 0 de E tel que pour tout élément u de E : E
u+ 0 = 0 + u = u . E E
4. Pour tout élément u de E, il existe un unique élément u * de E tel que :
u+ u*= u *+u = 0 . E
5. 1u = u pour tout élément u de E.
6. α(u+ v)=αu+αv pour tous les éléments u et v de E et tout réel α .
7. (α+β)u =αu+βu pour tout élément u de E et tous réels α et β .
8. α(βu)= (αβ)u pour tout élément u de E et tous réels α et β (on le notera αβu ).
Les 4 premières propriétés donnent à (E,+) une structure de groupe commutatif.
Remarque 1 : Un espace vectoriel n’est pas vide puisqu’il contient 0 . E
Remarque 2 : On peut démontrer que s’il y a un élément neutre, il est unique.
Supposons qu’il y en ait deux notés 0 et 0' . E E
On a : ∀u∈ E u+ 0 = 0 + u = u . Donc si u = 0' : 0' + 0 = 0 + 0' = 0' .
E E E E E E E E
On a : ∀u∈ E u+ 0' = 0' + u = u . Donc si u = 0 : 0 + 0' = 0' + 0 = 0 .
E E E E E E E E
Donc : 0 = 0' .
E E
Or : ∀u∈ E u+ 0u = 1u+ 0u = (1+ 0)u = 1u donc : ∀u∈ E u+ 0u = u
∀u∈ E 0u = 0Conséquence : Par unicité : E
Remarque 3 : On peut démontrer que s’il y a un symétrique u * de u, il est unique.
Supposons qu’il y en ait deux notés u * et u **.
On a : u+ u*= u *+u = 0 et u+ u **= u **+ u = 0 . E E
Donc : u **+ (u+ u*)= u **+ 0 = u ** et u *+(u+ u **)= u *+0 = u *. E E
Or par associativité et commutativité : u **+ (u+ u*)= u *+(u **+ u) .
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeEspaces Vectoriels - 2 - ECS 1
Donc : u*= u ** .
Or : ∀u∈ E u+ (−1)u = 1u+ (−1)u = (1−1)u= 0u = 0 E
Conséquence : Par unicité : ∀u∈ E u*= (−1)u On notera ∀u∈ E u*= −u .
Par analogie avec les vecteurs du plan, on parle d’espace « vectoriel », et les éléments
de l’ensemble E s’appellent des « vecteurs » (même quand ce ne sont pas des « vrais »
vecteurs !). Les opérateurs réels ou complexes sont appelés des « scalaires ».
Pour ne pas confondre les « vecteurs » et les « scalaires », en général les vecteurs sont
notés u, v et w , et les scalaires avec des lettres grecques α , β et γ .
Pour distinguer le zéro des vecteurs et le zéro des réels, le vecteur nul est noté 0 . E
Propriété : Si E est un espace vectoriel sur K, alors, si u∈ E et α∈ K :
αu = 0 ⇔α= 0 ou u = 0 . E E
Démonstration : On démontre séparément les deux implications.
Montrons d’abord : α= 0 ou u = 0 ⇒αu= 0 . E E
Si α= 0 : pour tout vecteur u, u = 1u = (0+1)u = 0u+1u = 0u+ u . Donc 0u = 0 . E
Si u = 0 : pour tout réel α , αu =α(u+ 0 )=αu+α0 . Donc α0 = 0 . E E E E E
Montrons ensuite : αu = 0 ⇒α= 0 ou u= 0 . E E
Si αu = 0 , il y a deux cas possibles : α= 0 ou α≠ 0 . E
1 1
Si αu = 0 et α≠ 0 , on peut multiplier par : 1u = 0 , donc u = 0 . E E E
α α
Donc en définitive, si αu = 0 , il y a deux cas possibles : α= 0 ou u = 0 . E E
Remarque : Cette propriété ressemble à la propriété d’intégrité de :
ab= 0⇔ a= 0 ou b= 0 , mais ici, les deux éléments ne sont pas de même nature.
2) Exemples fondamentaux
nExemple 1 : L’ensemble E = K des n-listes u = (x , x ,..., x ) d’éléments de K est 1 2 n
un espace vectoriel sur K lorsqu’il est muni des lois suivantes :
u+ v= (x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )= (x + y , x + y ,..., x + y ) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
αu =α(x , x ,..., x )= (αx ,αx ,...,αx ) 1 2 n 1 2 n
Démonstration : Elle est conséquence des propriétés de K.
1. u+ v= (x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )= (x + y , x + y ,..., x + y ) .
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
v+ u = (y , y ,..., y )+ (x , x ,..., x )= (y + x , y + x ,..., y + x ) .
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Or l’addition est commutative dans K.
n
Donc : u+ v= v+ u pour tous u et v de E = K .
2. u+ v= (x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )= (x + y , x + y ,..., x + y ) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc (u+ v)+ w= (x + y , x + y ,..., x + y )+ (z , z ,..., z ) . 1 1 2 2 n n 1 2 n
Donc (u+ v)+ w= (x + y )+ z ,(x + y )+ z ,...,(x + y )+ z . ( )1 1 1 2 2 2 n n n
v+ w= (y , y ,..., y )+ (z , z ,..., z )= (y + z , y + z ,..., y + z ) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc u+ (v+ w)= (x , x ,..., z )+ (y + z , y + z ,..., y + z ) . 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc u+ (v+ w)= x + (y + z ), x + (y + z ),..., x + (y + z ) . ( )1 1 1 2 2 2 n n n
Or l’addition est associative dans K.
nDonc (u+ v)+ w= u+ (v+ w) pour tous u, v et w de E = K .
3. L’élément neutre de l’addition est 0 = (0,0,...,0) . En effet : E
u+ 0 = (x , x ,..., x )+ (0,0,...,0)= (x + 0, x + 0,..., x + 0)= (x , x ,..., x ) E 1 2 n 1 2 n 1 2 n
Donc : u+ 0 = u pour tout u. L’égalité 0 + u = u est due au 1). E E
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeEspaces Vectoriels - 3 - ECS 1
n4. Tout u = (x , x ,..., x ) de E = K a pour opposé u*= (−x ,−x ,...,−x ) car : 1 2 n 1 2 n
(x , x ,..., x )+ (−x ,−x ,...,−x )= (x − x , x − x ,..., x − x )= (0,0,...,0) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
n
5. 1u = 1(x , x ,..., x )= (1x ,1x ,...,1x )= (x , x ,..., x )= u pour tout u de E = K . 1 2 n 1 2 n 1 2 n
6. α(u+ v)=α[(x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )]=α(x + y , x + y ,..., x + y ) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc : α(u+ v)= (α[x + y ],α[x + y ],...,α[x + y ]). 1 1 2 2 n n
Donc : α(u+ v)= (αx +αy ,αx +αy ,...,αx +αy ). 1 1 2 2 n n
Donc : α(u+ v)= (αx ,αx ,...,αx )+ (αy ,αy ,...,αy ) . 1 2 n 1 2 n
Donc : α(u+ v)=α(x , x ,..., x )+α(y , y ,..., y ) . 1 2 n 1 2 n
nDonc : α(u+ v)=αu+αv pour tous u et v de E = K et tout α∈ K .
7. (α+β)u = (α+β)(x , x ,..., x )= ([α+β]x ,[α+β]x ,...,[α+β]x )
1 2 n 1 2 n
Donc : (α+β)u = (αx +βx ,αx +βx ,...,αx +βx )
1 1 2 2 n n
Donc : (α+β)u = (αx ,αx ,...,αx )+ (βx ,βx ,...,βx )
1 2 n 1 2 n
Donc : (α+β)u =α(x , x ,..., x )+β(x , x ,..., x )
1 2 n 1 2 n
nDonc : (α+β)u =αu+βu pour tout u de E = K .et tous α et β de K.
8. α(βu)=α[β(x , x ,..., x )]=α(βx ,βx ,...,βx )= (αβx ,αβx ,...,αβx ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n
nDonc : α(βu)= (αβ)(x , x ,..., x )= (αβ)u pour tout u de E = K et tous α et β de K. 1 2 n
La démonstration est valable pour toutes les valeurs de l’entier n≥ 1.
En particulier : E = est un espace vectoriel sur (les réels jouent deux rôles).
E = est un espace vectoriel sur (les complexes jouent deux rôles).
E = est un espace vectoriel sur .
Remarque : Tout espace vectoriel sur est un espace vectoriel sur . Il suffit de
restreindre les opérateurs.
D
Exemple 2 : L’ensemble E =A (D, K ) , noté aussi K , des applications définies sur
un ensemble non vide D