Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Espaces vectoriels

Catherine Laidebeure

Description

Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 185
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Espaces Vectoriels - 1 - ECS 1
ESPACES VECTORIELS


Il s’agit d’étudier les propriétés d’une famille d’ensembles qui possèdent la même
structure. Dans tout le chapitre, K désignera soit soit .
I – Espaces vectoriels
1) Définitions
Définition : Une loi de composition interne dans un ensemble E est une application de
E× E dans E : (u,v)a u+ v .
Exemples : Addition et multiplication dans , addition et multiplication des fonctions
définies sur un ensemble D, addition et multiplication des polynômes, addition des
matrices…
Définition : Une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs dans K
est une application de K× E dans E : (α,u)aαu .
Exemples : Multiplication par un réel des fonctions définies sur un ensemble D,
multiplication par un réel des polynômes, multiplication par un réel des matrices, …
Définition : Un ensemble E est un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel,
s’il est muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de composition
externe à opérateurs dans K notée . qui vérifient les propriétés :
1. pour tous les éléments u et v de E (commutativité). u+ v = v+ u
2. (u+ v)+ w= u+ (v+ w) pour tous les éléments u, v et w de E (associativité).
3. Il existe un élément (neutre) 0 de E tel que pour tout élément u de E : E
u+ 0 = 0 + u = u . E E
4. Pour tout élément u de E, il existe un unique élément u * de E tel que :
u+ u*= u *+u = 0 . E
5. 1u = u pour tout élément u de E.
6. α(u+ v)=αu+αv pour tous les éléments u et v de E et tout réel α .
7. (α+β)u =αu+βu pour tout élément u de E et tous réels α et β .
8. α(βu)= (αβ)u pour tout élément u de E et tous réels α et β (on le notera αβu ).
Les 4 premières propriétés donnent à (E,+) une structure de groupe commutatif.
Remarque 1 : Un espace vectoriel n’est pas vide puisqu’il contient 0 . E
Remarque 2 : On peut démontrer que s’il y a un élément neutre, il est unique.
Supposons qu’il y en ait deux notés 0 et 0' . E E
On a : ∀u∈ E u+ 0 = 0 + u = u . Donc si u = 0' : 0' + 0 = 0 + 0' = 0' .
E E E E E E E E
On a : ∀u∈ E u+ 0' = 0' + u = u . Donc si u = 0 : 0 + 0' = 0' + 0 = 0 .
E E E E E E E E
Donc : 0 = 0' .
E E
Or : ∀u∈ E u+ 0u = 1u+ 0u = (1+ 0)u = 1u donc : ∀u∈ E u+ 0u = u
∀u∈ E 0u = 0Conséquence : Par unicité : E
Remarque 3 : On peut démontrer que s’il y a un symétrique u * de u, il est unique.
Supposons qu’il y en ait deux notés u * et u **.
On a : u+ u*= u *+u = 0 et u+ u **= u **+ u = 0 . E E
Donc : u **+ (u+ u*)= u **+ 0 = u ** et u *+(u+ u **)= u *+0 = u *. E E
Or par associativité et commutativité : u **+ (u+ u*)= u *+(u **+ u) .
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeEspaces Vectoriels - 2 - ECS 1
Donc : u*= u ** .
Or : ∀u∈ E u+ (−1)u = 1u+ (−1)u = (1−1)u= 0u = 0 E
Conséquence : Par unicité : ∀u∈ E u*= (−1)u On notera ∀u∈ E u*= −u .
Par analogie avec les vecteurs du plan, on parle d’espace « vectoriel », et les éléments
de l’ensemble E s’appellent des « vecteurs » (même quand ce ne sont pas des « vrais »
vecteurs !). Les opérateurs réels ou complexes sont appelés des « scalaires ».
Pour ne pas confondre les « vecteurs » et les « scalaires », en général les vecteurs sont
notés u, v et w , et les scalaires avec des lettres grecques α , β et γ .
Pour distinguer le zéro des vecteurs et le zéro des réels, le vecteur nul est noté 0 . E
Propriété : Si E est un espace vectoriel sur K, alors, si u∈ E et α∈ K :
αu = 0 ⇔α= 0 ou u = 0 . E E
Démonstration : On démontre séparément les deux implications.
Montrons d’abord : α= 0 ou u = 0 ⇒αu= 0 . E E
Si α= 0 : pour tout vecteur u, u = 1u = (0+1)u = 0u+1u = 0u+ u . Donc 0u = 0 . E
Si u = 0 : pour tout réel α , αu =α(u+ 0 )=αu+α0 . Donc α0 = 0 . E E E E E
Montrons ensuite : αu = 0 ⇒α= 0 ou u= 0 . E E
Si αu = 0 , il y a deux cas possibles : α= 0 ou α≠ 0 . E
1 1
Si αu = 0 et α≠ 0 , on peut multiplier par : 1u = 0 , donc u = 0 . E E E
α α
Donc en définitive, si αu = 0 , il y a deux cas possibles : α= 0 ou u = 0 . E E
Remarque : Cette propriété ressemble à la propriété d’intégrité de :
ab= 0⇔ a= 0 ou b= 0 , mais ici, les deux éléments ne sont pas de même nature.
2) Exemples fondamentaux
nExemple 1 : L’ensemble E = K des n-listes u = (x , x ,..., x ) d’éléments de K est 1 2 n
un espace vectoriel sur K lorsqu’il est muni des lois suivantes :
u+ v= (x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )= (x + y , x + y ,..., x + y ) 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
αu =α(x , x ,..., x )= (αx ,αx ,...,αx ) 1 2 n 1 2 n
Démonstration : Elle est conséquence des propriétés de K.
1. u+ v= (x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )= (x + y , x + y ,..., x + y ) .
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
v+ u = (y , y ,..., y )+ (x , x ,..., x )= (y + x , y + x ,..., y + x ) .
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Or l’addition est commutative dans K.
n
Donc : u+ v= v+ u pour tous u et v de E = K .
2. u+ v= (x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )= (x + y , x + y ,..., x + y ) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc (u+ v)+ w= (x + y , x + y ,..., x + y )+ (z , z ,..., z ) . 1 1 2 2 n n 1 2 n
Donc (u+ v)+ w= (x + y )+ z ,(x + y )+ z ,...,(x + y )+ z . ( )1 1 1 2 2 2 n n n
v+ w= (y , y ,..., y )+ (z , z ,..., z )= (y + z , y + z ,..., y + z ) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc u+ (v+ w)= (x , x ,..., z )+ (y + z , y + z ,..., y + z ) . 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc u+ (v+ w)= x + (y + z ), x + (y + z ),..., x + (y + z ) . ( )1 1 1 2 2 2 n n n
Or l’addition est associative dans K.
nDonc (u+ v)+ w= u+ (v+ w) pour tous u, v et w de E = K .
3. L’élément neutre de l’addition est 0 = (0,0,...,0) . En effet : E
u+ 0 = (x , x ,..., x )+ (0,0,...,0)= (x + 0, x + 0,..., x + 0)= (x , x ,..., x ) E 1 2 n 1 2 n 1 2 n
Donc : u+ 0 = u pour tout u. L’égalité 0 + u = u est due au 1). E E
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeEspaces Vectoriels - 3 - ECS 1
n4. Tout u = (x , x ,..., x ) de E = K a pour opposé u*= (−x ,−x ,...,−x ) car : 1 2 n 1 2 n
(x , x ,..., x )+ (−x ,−x ,...,−x )= (x − x , x − x ,..., x − x )= (0,0,...,0) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
n
5. 1u = 1(x , x ,..., x )= (1x ,1x ,...,1x )= (x , x ,..., x )= u pour tout u de E = K . 1 2 n 1 2 n 1 2 n
6. α(u+ v)=α[(x , x ,..., x )+ (y , y ,..., y )]=α(x + y , x + y ,..., x + y ) . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Donc : α(u+ v)= (α[x + y ],α[x + y ],...,α[x + y ]). 1 1 2 2 n n
Donc : α(u+ v)= (αx +αy ,αx +αy ,...,αx +αy ). 1 1 2 2 n n
Donc : α(u+ v)= (αx ,αx ,...,αx )+ (αy ,αy ,...,αy ) . 1 2 n 1 2 n
Donc : α(u+ v)=α(x , x ,..., x )+α(y , y ,..., y ) . 1 2 n 1 2 n
nDonc : α(u+ v)=αu+αv pour tous u et v de E = K et tout α∈ K .
7. (α+β)u = (α+β)(x , x ,..., x )= ([α+β]x ,[α+β]x ,...,[α+β]x )
1 2 n 1 2 n
Donc : (α+β)u = (αx +βx ,αx +βx ,...,αx +βx )
1 1 2 2 n n
Donc : (α+β)u = (αx ,αx ,...,αx )+ (βx ,βx ,...,βx )
1 2 n 1 2 n
Donc : (α+β)u =α(x , x ,..., x )+β(x , x ,..., x )
1 2 n 1 2 n
nDonc : (α+β)u =αu+βu pour tout u de E = K .et tous α et β de K.
8. α(βu)=α[β(x , x ,..., x )]=α(βx ,βx ,...,βx )= (αβx ,αβx ,...,αβx ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n
nDonc : α(βu)= (αβ)(x , x ,..., x )= (αβ)u pour tout u de E = K et tous α et β de K. 1 2 n
La démonstration est valable pour toutes les valeurs de l’entier n≥ 1.
En particulier : E = est un espace vectoriel sur (les réels jouent deux rôles).
E = est un espace vectoriel sur (les complexes jouent deux rôles).
E = est un espace vectoriel sur .
Remarque : Tout espace vectoriel sur est un espace vectoriel sur . Il suffit de
restreindre les opérateurs.
D
Exemple 2 : L’ensemble E =A (D, K ) , noté aussi K , des applications définies sur
un ensemble non vide D