Cours - Electrocinétique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Circuits linéaires en régime transitoire

Damien Decout

Description

Cours d'électrocinétique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 2 chapitres : (1) Lois générales dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (2) Circuits linéaires en régime transitoire

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 1 085
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

´
MPSI-Electrocin´etiqueI-Circuitsline´airesenr´egimetransitoire

Circuitsline´airesenre´gime
transitoire

Tabledesmatie`res

1

2

3

4

5

6

7

Conditionsinitialesetcontinuit´e

Re´gimelibreducircuitRC
´
2.1 Evolution de la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . .
´
2.2Evolutiondel’intensit´educourant..................
´
2.3Etud´´etique...........................
e energ

Re´gimelibreducircuitRL
´
3.1Evolutiondel’intensite´ducourant..................
´
3.2 Evolution de la tension aux bornes de la bobine . . . . . . . . . . .
´
3.3Etudee´nerg´ti
e que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R´egimelibreducircuitRLCse´rie
´
4.1Equationdiff´erentielle.........................
4.2Diffe´rentsre´gimes............................
´
4.3Etudee´nerge´tique...........................

R´eponsed’uncircuitRCa`une´chelondetension
´
5.1 Evolution de la tension aux bornes du condensateur . . . . . . . .
´
5.2Evolutiondel’intensit´educourant..................
5.3 Bilan ´e ´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
nerge

R´eponsed’uncircuitRLa`un´echelondetension
´
6.1Evolutiondel’intensite´ducourant..................
´
6.2 Evolution de la tension aux bornes de la bobine . . . . . . . . . . .
6.3Bilane´nerg´ti...................
e que . . . . . . . . .

R´eponsed’uncircuitRLCse´rie`aun´echelondetension
7.1 Tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2Bilan´energ´etique............................

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

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7

7

1

Conditionsinitialesetcontinuit´e

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Onva´etudiercequisepasseentreentredeuxr´egimescontinus=re´gimetransi-
toire.Lesgrandeurse´lectriquesnesontplusconstantes.Rappelonslesconventions
etre´sultatspourlabobineetlecondensateur:

L inductance en henry (H).

Ccapacit´eenfarad(F).

i

i

q=Cu

L

u

i
u=tdLd

C

q
u

i=dqdt=Cdud
t

Lescircuitse´tantline´aires,toutegrandeure´lectriquex(tarepdte´rcti)se
unee´quationdiff´erentiellelin´eaire`acoefficientconstant.
Ond´eterminelesconstantesd’inte´gratiˆditionsinitialesen
on grace aux con
utilisant :
–lacontinuit´edelatensionauxbornesducondensateur(sinoni=udtCd
tendrait vers l’infini ce qui est physiquement impossible) ;
–lacontinuit´edel’intensite´ducourantdanslabobine(sinonu=dtdiLtendrait
vers l’infini ce qui est physiquement impossible).

´
MPSI-Electrocine´tiqueI-Circuitslin´eairesenre´gimetransitoire

2

2.1

Re´gimelibreducircuitRC

´
Evolution de la tension aux bornes du condensateur

E

I

C

U

R

E

i
q
C

u

R

Lecondensateurestinitialementcharge´sousunetensionEcontgimeinu,e´rnE.
le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvertU=EetI= 0 (ER
danslare´sistance).
At´hcsrdetauetancesislar´dansrretni’lervuono,nsdeonec,lurteup0=:e
e arge

u=Ri=−R dq=−RudCdt
dt
uecτ=RC
ddtu+τ= 0 av
La solution est de la formeu(t) =Aexp(−tτ).
u(0) =A=E.teurnoituntiapcrdnocasnenrobudseionsuxnade´etela
Finalement :
u(t) =Eexp(−tτ)

u(t)

E

τ

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

t

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E
udd=−
tt=0τ
Latangentea`l’origined’e´quation−Et+Ecoupe l’axe des abscisses ent=τ.
τ
D’autre part :
pourt=τ,u=Eexp(−1) = 037E
pourt= 2τ,u=Eexp(−1) = 014E
pourt= 3τ,u=Eexp(−1) = 005E

2.2

´
Evolutiondel’intensit´educourant

i=−qdtd=−dCdut, ce qui donne :

E
R

i(t)

τ

i(t) =Eexp(−tτ)
R

t

Lecondensateurassurelacontinuite´delatensiona`sesbornesmaispascellede
l’intensit´educourant.

´
MPSI-Electrocin´etiqueI-Circuitslin´eairesenre´gimetransitoire

2.3

´
Etude´energ´etique

Calculonsl’e´nergiere¸cue(onestbienenconventionre´cepteurpourlare´sistance)
etdissipe´epareffetJouledanslar´esistance:

W=ZPdt=Z

∞
uidt=RE2Z0∞exp(−2tτ)dt=ER2exp−(−22ττt)0

W=12CE2´eneur.ednotasnnadecelsasag´eingiermmee

3

3.1

R´egimelibreducircuitRL

´
Evolutiondel’intensite´ducourant

E

R

I

U

L

R

i

u

L

Enr´egimecontinu,labobinesecomportecommeuninterrupteurferme´U= 0 et
I=ER.
At= 0, on supprimeE:

u=L di=−
dtRi

di i0 avecτ=LR
dt+τ=

La solution est de la formei(t) =Aexp(−tτ).
i(0) =A=ERpaed’ltie´ituncrnourcodu´eitnstein.enibobalsnadtna
Finalement :
i(t) =REexp(−tτ)

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

3.2

E
R

i(t)

τ

´
Evolution de la tension aux bornes de la bobine

i
u=L d, ce qui donne :

u(t)

−E

τ

u(t) =−Eexp(−tτ)

t

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t

´
MPSI-Electrocine´tiqueI-Circuitsline´airesenre´gimetransitoire

3.3

´
Etudee´nerg´etique

Calculonger¸e(onestenconventiong´ene´rateurpourlare´sistance)et
sl’e´neriecu
´Jouledanslar´esistance:
W=ZPdt=Z−uidt=RE2Z0∞exp(−2tτ)dt=ER2exp(−−22tττ)0∞
E2L
W21R R=21LI2´eegiereninasagmmlsnadee´.eniboba
=

4

4.1

R´egi

libreducircuitRLCse´rie

´
Equationdiff´erentielle

E

q

C

i

u

R

(1)u=Ri+L di
dt
avecu=qCeti=−qdddonneCq=−tdRdq−dLd2t2qsoit :
t
(2)d2q R dq1
dt2+L dt+qCL= 0
Avecq=Cu, (2) donne :

L

dd2t2u+LRudtd10
+LCu=
End´erivant(1)etenutilisantu=qCeti=−tdqd, on obtient :
dd2idRit+L1C i0
2+L dt=

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

4.2

Diffe´rentsre´gimes

regime
´
Q >21
pseudo-pe´riodique
Q <1
2
ap´eriodique
1
=
Q2
critique

Qital.´eetrueduqlllefecas’appe

2d2t2Ru+ 22α=tdud+1ωe20tuQ=0=ω0
d
α= ,ω0
u= e−αt(Acos(Ωt) +Bsin(Ωt))
Ω2=ω20−α2
u= e−αt(A0eΩ0t+B0e−Ω0t)
Ω02=α2−ω02
u= e−ω0t(A00t+B00)

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Ond´eterminelesconstantesgrˆaceauxconditionsinitialesenutilisantlaconti-
nuite´delatensionauxbornesducondensateuretlacontinuite´del’intensit´edu
courant dans la bobine.

u(t)

E

Lapseudo-p´eriodeestegalea`T= 2π=
´
ω

2π
=
ω20−α2ω0

t

2π
1
1−4Q2

´
MPSI-Electrocin´etiqueI-Circuitslin´eairesenre´gimetransitoire

4.3

´
Etude energetique
´ ´

En multipliant (1) pari, on obtient :

ui=R2+L di
idti

commei=−tdqdetq=Cu, on a :

−tududC=Ri2+L di
d i
t
ddt21Cu2+21Li2=−Ri2

L’´energieemmagasine´edanslecondensateuretlabobine`auninstantt,W(t) =
21Cu22+1Li2ffeteoJludenalsaeestdissip´eepartudsruoclle,spme,dauueinim
r´esistance.

5

5.1

Re´ponsed’uncircuitRCa`une´chelondetension

E

´
Evolution de la tension aux bornes du condensateur

R

U

C

I

E

R

u

i
q

C

Lecondensateurestinitialementde´charg´e(R´egimecontinuU= 0 etI= 0).
At= 0, on ferme l’interrupteur et le condensateur se charge :

E=Ri+u=RCdtdu+u

du u E
dt+τ=τ

DamienDECOUT-Derni`eremodi&#