Cours - Electromagnétisme - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Electrostatique

Damien Decout

Description

Cours d'électromagnétisme basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 2 chapitres : (1) Electrostatique (2) Magnétostatique

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 227
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

´ ´
MPSI-Electromagne´tisme-Electrostatique

´
Electrostatique

Tabledesmati`eres

1

2

Lachargee´lectrique
1.1Proprie´te´s................................
1.2 Distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Distribution volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Distribution surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3Distributionlin´e¨ıque......................

Champ´electrostatique
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Champ d’une charge ponctuelle . . . . . . . . .
2.3 Principe de superposition . . . . . . . . . . . .

2.4 Champ d’une distribution . . . . . . . . . . . .
2.5 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .
. . . . .

. . . . .
. . . . .
. . . . .

. .
. .

. .
. .
. .

. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .

3Invariancesetsyme´tries
3.1 Invariances des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
3.2Plandesyme´trieetpland’antisym´etrie...............
3.3Cons´equencespourlechampe´lectrostatique.............

4Potentiele´lectrostatique
4.1 Circulation de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3Potentielcre´e´parunedistributiondecharges............
4.4Surfacese´quipotentielles........................
´
4.5 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5The´or`emedeGauss

6

Analogie gravitationnelle

7Ledipˆolee´lectrostatique
7.1Actionsexerc´eesparundipˆole....................
7.2Actionssubiesparundipˆole......................

DamienDECOUT-Dernie`remodification:avril2007

1
1
1
1
1
1

1
1
1

2
2
2

2
2
3
3

3
3
3
4
4
4

4

4

5
5
5

1

Lachargee´lectrique

1.1Proprie´tes
´

page 1/5

On appellechargesontiacerntsilese’dpenuartce´irueqriuacunegrandarticule
e´lectromagne´tiquesqu’elleexerceainsiquecellesqu’ellesubit(voirmasseet
interaction gravitationnelle).
La charge est une grandeur scalaire pouvant prendre des valeurs positives ou
negatives.
´

La charge estquaneeit´fi:

ou`Zest un entier relatif et

q=Ze

e= 1610−19C

e

´
lecoulombetantl’unite´delacharge.
La charge est une grandeurconservative: la charge total
ferme´estconstanteaucoursdutemps.
Lachargetotaled’unsyst`emened´ependpasdure´f´erentiel
la mesure (principe d’invariancede la charge).

d’un

syst`eme

dans lequel on

1.2 Distributions de charges
1.2.1 Distribution volumique
L’approximationdesmilieuxcontinuspermetdede´finiruneevt´sienueiqumold
de chargeoucharge volumique:

dq
ρ=dτ
ou`dq=Pqiest la charge contenue dans le volumedτal’´echellemacroetepit`t
grand`al’´echellemicro:
dq=ρdτ

´ ´
MPSI-Electromagn´etisme-Electrostatique

1.2.2

Distribution surfacique

Siunedes3dimensionsestne´gligeableparrapportauxdeuxautres,onpeut
d´efinirunefruse´tisnedgearchdeueiqacoucharge surfacique:

1.2.3

dq=ρ hdS=σdS

Distributionlin´e¨ıque

Sideuxdes3dimensionssontn´egligeablesparrapport`alatroisie`me,onpeut
de´finiruneahceegrı¨e´deuqt´siinelendou¨in´ergelcha
ıque:

2

dq=λdl

Champ electrostatique
´

2.1 Loi de Coulomb

Soitq1enM1etq2enM2

av 1 = 9109SI
ec4π0

1q1q2
F1→2=4π0M1M22MM11MM22

2.2 Champ d’une charge ponctuelle

SoitqenOetq0enM

`
ou

Fq→q04=π10MOqq02OOMM=q04qπ0OOMM3=q0Eq(M)

Eq(M)qOM
=
4π0OM3

estlechampcre´e´parlachargeqenM.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:avril2007

2.3

Principe de superposition

page 2/5

Soitq1enO1,q2enO2,q3enO3oiticevnirotellesfdeceor´esdulcoleea’ddD.le..
principe de superposition des champs :

E(M) =XEi(M) =X4πqi0OOiiMM3
i i

Enparticulier,laforceaveclaquelleinteragissentdeuxchargesn’estpasmodifi´ee
parlapre´senced’unetroisi`emecharge.

2.4 Champ d’une distribution

Onde´coupeladistributionenmorceauxassezpetitspourpouvoirconsidererque
´
la chargedq´laenusrintP;cettechargetsolacil´seeuaopduueearcmo
cre o
champ :
E(M) = 4dπq0PPMM3
Lechampcre´e´parladistributionestalorslasommedeschampscre´e´sparles
morceaux;ladistributione´tantcontinue,onremplacelasommeparuneint´rale
eg
E(M) =dq
Z4π0PPMM3

pour une distribution volumique :

E(M) =Zρ(P)dτPM
4π0P M3

pour une distribution surfacique :

E(M) =Zσ(4Pπ)d0SPPMM3

pourunedistributionlin´e¨ıque:
E(M) =Z

λ(P)dlPM
4π0P M3

´ ´
MPSI-Electromagne´tisme-Electrostatique

2.5 Lignes de champ

Uneligne de champde ses points M au champest tangente en chacun E(M).

Ellev´erifielespropriete´ssuivantes:
´
1.Leslignesdechamp´electrostatiquedivergenta`partirdeschargespositiveset
convergentversleschargesne´gatives.
2.Lorsqu’ilestd´efini,lechamp´electrostatiqueestnulaupointd’intersectionde
deux lignes de champ (deux lignes de champ ne peuvent donc se couper que si
E(M) = 0 ouE(Mn)no´dfiein.)
3.Leslignesdechampe´lectrostatiqued’unedistribution
–partent`al’infinisiladistributionestglobalementpositive
–proviennentdel’infinisiladistributionestglobalementn´egative
– n’aboutissent ni ne proviennent de l’infini si la distribution est globalement
neutre

3Invariancesetsyme´tries

3.1 Invariances des distributions de charges

Unedistribution,illimite´edansladirectiondel’axeΔ,estinvariante par trans-
lationrantlanstMinsoetotruoptusΔtnop,idechargeedsntie´´tMe,’asuivas
verifieρ(M) =ρ(M0).
´
exemple : distribution invariante par translation suivant Oz

ρ(r θ z) =ρ(r θ)

Une distribution, estinvariante par rotationautour d’un axe Δ si, pour tout
pointMetM’obtenuapre`srotation,sadensit´edechargev´erifieρ(M) =ρ(M0).
exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz

ρ(r θ z) =ρ(r z)

Unedistribution`aqirdeuceirnilysyetm´est telle que :

ρ(r θ z) =ρ(r)

(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)

DamienDECOUT-Dernie`remodification:avril2007

Unedistributiona`ys´metriesph´eriqueest telle que :

ρ(r θ ϕ) =ρ(r)

page 3/5

(invariance par rotation autour deeϕet invariance par rotation autour de Oz)

3.2Plandesym´etrieetpland’antisym´etrie
Unedistributionestsyme´triqueparrapport`aunplanΠsi,pourtoutpointMil
existeunsyme´triqueM’,etsisadensite´dechargeve´rifie:

ρ(M) =ρ(M0)

Unedistributionestantisym´etriqueparrapporta`unplanΠ∗si, pour tout point
Milexisteunsym´etriqueM’,etsisadensit´edechargeve´rifie:

ρ(M) =−ρ(M0)

3.3Conse´quencespourlechamp´electrostatique

Nousge´ne´ralisonslesobservationsdescartesdechamp:

EuqirrapelpnuΠnaenafstsrteensorm´m´etonsy

d’autre part :

E(M0) =symE(M)

E(M∈Π)∈Π

Erietm´sytianonnsΠnalpnurapeuqesttransform´ee∗

E(M0) =−symE(M)

E(M∈Π∗)⊥Π∗

D’autrepart,lechampe´lectrostatique(effet)poss`edeaumoinslesinvariancesdes
distributions de charges (cause).

´ ´
MPSI-Electromagn´etisme-Electrostatique

4Potentiele´lectrostatique

4.1

Circulation de E

Rappelonsl’expressiondelaforceexerc´eeparlachargeqen O sur la chargeq0
en M
F=q0E(M)

Calculons le travail deFeppaerocncrice´leiondulateF
W=ZFdOM=q0ZE(M)dOM

Inte´ressonsnous`alacirculationdeE
ZBAE(M)dOM=Z4π10rq2erdrer=Z

dr q1
4q=A−r1B
π0r24π0r

La circulation deEduasdpensuinemch.iviestconservtavi,