Cours - Electrostatique et magnétostatique - 1ère année de CPGE scientifique, voie PCSI, Champ et potentiel électrostatique

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Cours d'électrostatique et magnétostatique basé sur le programme de physique de 1ère année de la voie PCSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Champ et potentiel électrostatiques (2) Dipôle électrostatique (3) Théorème de Gauss (4) Champ magnétique - Loi de Biot et Savart (5) Théorème d'Ampère

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Publié le 01 janvier 2008
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Langue Français
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(O.Granier)
Potentiels et champs
électrostatiques
Olivier GRANIERINTRODUCTION
Électrostatique
Magnétostatique
Électromagnétisme
(Équations de Maxwell,
Phénomènes d’induction
ème
fin XIX siècle)
Ondes électromagnétiques
L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées
immobiles (dans le référentiel du laboratoire). Les notions importantes
abordées sont les notions de champs et de potentiels.
Olivier GRANIERI – CHARGES ELECTRIQUES ET LOI DE COULOMB
1 – Charges électriques :
Il existe deux sortes de charges électriques, appelées, par convention,
positives et négatives.
Deux charges de même signe se repoussent
Deux charges de signe contraire s’attirent
Toutes les charges rencontrées dans la nature (à l’état libre, contrairement
aux quarks emprisonnés dans les particules microscopiques) sont des
multiples de la charge élémentaire de l’électron (la charge est quantifiée) :
−19
Q =ne (n ∈Z,e =1,6.10 C)
Principe général de conservation de la charge électrique (réactions
chimiques ou réactions nucléaires).
Olivier GRANIER2 – Loi de Coulomb :
La force d’interaction entre deux charges ponctuelles placées dans le vide
est donnée par la loi de Coulomb (1785) :
r
q q r
1
1 2
r
f = u
1→2
2
f
1→2 4πε
r
q q > 0
0
1 2
M (q )
2 2
r r r
f = f = −f
1→2 2→1
M (q )
r 1 1
f
2→1 r=M M
1 2
εε : permittivité du vide

0
u
1→2
9
(1/4πε = 9.10 USI)
0
Cette loi est également valable dans l’air (ε = 1,00058).
r
Olivier GRANIER3 – Répartitions continues de charges :
La charge élémentaire e étant très faible, la quantification de la charge
ne se remarque pas à l’échelle macroscopique. On va pouvoir décrire la
charge d’un corps chargé par une variable continue (analogue de la masse
volumique pour un solide, par exemple).
Soit un corps chargé en volume :
On note Q sa charge électrique totale
Corps (C)
et V son volume total.
(Q,V)
On peut définir une densité volumique
de charge moyenne (équivalente de la
masse volumique moyenne d’un solide) :
Q
ρ =
moy
V
Olivier GRANIERVolume dτ
On considère un volume dτ (autour de M), petit
vis-à-vis du volume occupé par tout le corps
M
chargé, mais grand par rapport à la taille d’une
Charge dq
molécule (échelle mésoscopique)
On note dq la charge de ce volume élémentaire. La densité volumique de
charges électriques au point M est définie par :
dq
−3
ρ(M) = (ρ enC.m )

La charge totale portée par le corps est alors :
dq = ρ(M)dτ soit Q = ρ(M)dτ
∫∫∫
(V)
Olivier GRANIERExpression du volume élémentaire dτ :
• Coordonnées cartésiennes : dτ =dx dy dz
• Coordonnées cylindriques : dτ = (dr)(rdθ)(dz) =r dr dθ dz
2
• Coordonnées sphériques :
dτ = (dr) (rdθ) (rsinθ dϕ) =r sinθ dr dθ dϕ
Exemple : exercice n°1
Olivier GRANIERSoit un corps chargé en surface :
On note Q sa charge électrique totale et S sa surface totale.
On peut définir une densité de charge surfacique moyenne (équivalente de
la masse surfacique moyenne d’une feuille de papier d’aluminium, par
exemple) :
Q
σ =
S
On note dq la charge portée par la surface
Surface dS
élémentaire dS. La densité surfacique de
M
charges électriques au point M est définie par :
Charge dq
dq
−2
σ(M) = (ρ enC.m )
dS
Surface
chargée
La charge totale portée par le corps est alors :
(S,Q)
dq = σ(M)dS soit Q = σ(M)dS
∫∫
(S)
Olivier GRANIERSoit un corps chargé de manière linéique :
On note Q sa charge électrique totale et L sa longueur totale.
On peut définir une densité de charge linéique moyenne (équivalente de la
masse linéique moyenne d’un fil de fer, par exemple) :
Q
λ =
moy
L
Longueur dL
On note dq la charge portée par la longueur
M
élémentaire dL. La densité linéique de charges
Charge dq
électriques au point M est définie par :
dq
−1
λ(M) = (ρ enC.m )
Fil chargé
dL
(L,Q)
La charge totale portée par le corps est alors :
dq = λ(M)dL soit Q = λ(M)dL

(L)
Olivier GRANIERII – LE CHAMP ELECTROSTATIQUE
1 – Cas d’une charge ponctuelle :
On considère une charge ponctuelle q immobile placée à l’origine O d’un
repère galiléen.
Soit q’ une charge test placée en un point M qui peut varier dans l’espace.
La charge test q’ est soumise à la force de Coulomb :
z
r
M(q’) r
1 qq'
f (M) = u
r
2
4πε
r
0
r
r = OM r
1 qq'
f (M) = u Le champ électrique créé par la
r
2
4πε
r
0
charge q placée en O au point M est,
par définition :
r
r
u
r
r
f (M)
E(M) =
x
y
O(q)
q'
Olivier GRANIER