Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité

Damien Decout

Description

Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité (2) Repérage d'un point vitesse et accélération (3) Dynamique du point en référentiel galiléen (4) Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté (5) Oscillateur harmonique - Régime libre

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 98
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

MPSI-M´ecaniqueI-Introductiona`lam´ecaniqueclassique-Rappelsetdomainedevalidit´e

Introduction`alame´caniqueclassique
-Rappelsetdomainedevalidit´e

Tabledesmati`eres

1 1reloi de Newton ou principe d’inertie

2 2eloi de Newton ou principe fondamental de la dynamique
´
2.1Enonce´..................................
2.2 Exploitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2Solutionnum´erique.......................
2.3Peut-onre´soudren’importequelprobl`eme?.............

3

3eniopuepderwitnoccitdieoNell’aoleraendtitnoe´ca
´
3.1Enonc´e..................................
3.2Unecons´equence............................

4 conclusion

1

1reloi de Newton ou principe d’inertie

1

1
1
2
2
2
2

3
3
3

3

Dansunre´f´erentielgalile´en,unpointmat´erielisol´ea`unmouvementrectiligne
uniforme.

Qu’est-ce qu’unmouvement rectiligne uniforme?
Un mouvement rectiligne uniforme est un mouvement pour lequelv=cte.
direction constante→rectiligne
norme constante→uniforme
immobilit´ecasparticulierv= 0

Qu’est-ce qu’unolis´ee´taleiropmtni?
C’estunpointaffecte´d’unemassequin’estsoumis`aaucuneforce.
C’estunesituationid´ealecarunobjetesttoujourssoumisa`desforces,cesforces
pouvt´eventuellementˆetrene´gligeablesousecompenser;onparlealorsd’objet
an

DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007

pseudo-isole´.

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Qu’est-ce qu’unneit´frele´er?
Unref´erentielvanouspermettredere´pondreauxquestionsou`?etquand?En
´
effet,pourde´crireunmouvement,ilfautpouvoirpre´cisera`lafoiso`usetrouve
lepointet`uelinstantils’ytrouve.Pourpre´ciserou`setrouvelepoint,on
a q
utilisera unrpee`erilutone,neauerislitnatsnvuorty’spr´eciser`aqueliteopru
horloge:
r´efe´rentiel=rep`ere+horloge
Qu’est-cequ’unre´fe´rentielneel´liga?
Unre´fe´rentielgalile´enestunr´ef´erentieldanslequelunpointmat´erielisole´a`un
mouvement rectiligne uniforme.
Seulel’exp´eriencepourranousdiresiunre´f´erentielestgalil´eenoupas.

2

2eloi de Newton ou principe fondamental de la
namique

´
2.1Enonce´

dy-

Lemouvementestdoncmodifi´eparlesforces.Unmouvementestmodifi´esiladi-
rectionduvecteurvitesseet/ousanormevarie(fairelessche´mascorrespondants)
v6=cteou encorea6= 0 puisque :

dv
a=
dt

o`udv=v(t+dt)−v(tteurvitesseentreliens´tsemiladevucelastrivaioatnfinie)
instantstett+dt.
La 2elioedeNtwertnomalcfiidoitaesonartlatelneio-ee´´louvendum(accment
ration) et sa cause (force) :

Dansunre´fe´rentielgalile´enma=F.

MPSI-Me´caniqueI-Introduction`alam´ecaniqueclassique-Rappelsetdomainedevalidit´e

~
F

v~(t)

v(t+dt)
~

~(t+dt)−v~(t)
v

ou`Freeiam´tiotnaspuasseldemsedetnatluse´raleeu´iqplapesrcfoetsmdont
l’acce´le´rationesta.
Le principe d’inertie est le cas particulier du principe fondamental :

F= 0⇒a= 0⇒v=cte

Lamasse(inertielle)estdoncuncoefficientdeproportionnalit´e;pourFdonnee,
´
la modification du mouvement est d’autant plus grande quemest petit (il est
plusfaciledemodifierlemouvementd’unve´loqueceluid’uncamion!).

2.2 Exploitation

2.2.1 Solution analytique
´
Etudions le mouvement d’un projectile de massemealtinieilancenivetsse´aeevuc
v0slanduetnasepedpmahcenn´ere(orestrtertoetserfrelalggitnem.)s
Syst`eme´etudie´:projectileassimilable`aunpointmat´erieldemassem.
Re´ferentiel:repe`reOxyz(classe)suppos´egalil´een+horloge(onl’oubliesouvent
´
carletempsestuniverselenme´caniqueclassique).
Bilan des forces : poids.
Loi fondamentale :ma=mg.
Projection :
ax0
ay=−g
az0
cequidonneapre`sinte´gration:
v
y=−2g2x2+v00yx
v0x x

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C’est unesolution analytiqueueiqinqusdouneontcnomnoi´htatame,onaunef
tous les points de la trajectoire.
Lorsqu’iln’existepasdesolutionanalytiqueonarecoursadesme´thodesnume-
` ´
riqueso`ul’oncalculechaquepointdelatrajectoire.

2.2.2

cf TP

2.3

Solutionnume´rique

Peut-onr´esoudren’importequelprobl`eme?

Lesproble`mesquiontunesolutionanalytiquesontraresetcorrespondent
souvent`adessituationsid´eales.
Lare´solutionnume´riqueesttoujourspossibleencorefaut-ilquela2eloi de
Newtonpuisses’appliquerauproble`me.
Plusieurs fois dans l’histoire, on a cru trouver des situations remettant en cause
cetteloietplusieursfoisleproblemefutre´solu.
`
Exemple : en fait le mouvement d’une pla `te autour du Soleil n’est pas vraiment
ne
une ellipse mais on peut trouver les corrections en tenant compte de l’attraction
desautresplan`etes.Al’´epoque,onafaitcescalculsetcelamarchaitsaufpour
Uranus.LeVerrier(1811-1877)eul’ide´ed’attribuerladiff´erenceobserv´eea`une
plane`teinvisible.Oncalculalapositiondecetteplan`eteinvisible,onpointaun
t´elescopedansladirectioncalcul´ee,laplane`tee´taitl`a(Neptune)!Cefutun
grand `s pour la 2eloi.
succe
Pendantlongtempsoncrutqueseulsuneanalyseincomple`teoudescalculstrop
lourdspouvaientmettreende´fautla2eloi.
Ormˆemeentenantdetouteslesforcesetavecunecapacite´decalculillimit´ee,il
yadesdomainesou`la2eloi ne s’applique pas :

domaine microscopique→acinme´ueiqeqquntua
domainev'c→taletivi´er

MPSI-M´ecaniqueI-Introduction`alam´ecaniqueclassique-Rappelsetdomainedevalidit´e

3

3.1

3eloi de
reaction
´

´
Enonc´e

Newton

ou

principe de l’action et de la

Lesforcesd’interactionre´ciproquequis’exercententredeuxpointsmat´eriels
sontoppos´eesetontpoursupportladroitejoignantcespoints.

3.2

U e con ´
n sequence

Le principe d’inertie ou la 2eNediola’snotwereeiam´tru-.loPque`ppliointaunp
quoipeut-onl’appliquera`uneplane`teparexemple?
Onde´coupelaplan`eteenmorceauxassezpetitspourpouvoirlesconside´rer
commedespointsmate´rielsdemassemitels quePimi=mmaslpaledes.ete`na
On peut alors appliquer la 2eeuopni:toi`achaql
miainiopf(stuasesertes´erlpasecercxef=roesofcrrtseseua)sl+eure´erisintorce
(forcesext´erieures)
miai=Xfj→i+fext→i
j6=i
Xmiai=X Xfj→i+Xfext→i
i i j6=i i
= 0 +Fext→planete

V´erifierpouri= 3 par exemple.

Xmiai=Xmid2dOMid2XmiOMi=ddt22mOG=ma(G)
=
t2dt2
i i i
Quandonassimileunsyst`emea`unpointmat´eriel,on´etudieenfaitlemouvement
d’unpointparticulierappele´barycentreoucentred’inertieoucentredegravite´
etonnetientcomptequedesforcesexte´rieuresausyste`me.

4

conclusion

Les trois lois.
Domainedevalidite´delame´caniqueclassique.

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