Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité

MPSI-M´ecaniqueI-Introductiona`lam´ecaniqueclassique-Rappelsetdomainedevalidit´e

Introduction`alame´caniqueclassique
-Rappelsetdomainedevalidit´e

Tabledesmati`eres

1 1reloi de Newton ou principe d’inertie

2 2eloi de Newton ou principe fondamental de la dynamique
´
2.1Enonce´..................................
2.2 Exploitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2Solutionnum´erique.......................
2.3Peut-onre´soudren’importequelprobl`eme?.............

3

3eniopuepderwitnoccitdieoNell’aoleraendtitnoe´ca
´
3.1Enonc´e..................................
3.2Unecons´equence............................

4 conclusion

1

1reloi de Newton ou principe d’inertie

1

1
1
2
2
2
2

3
3
3

3

Dansunre´f´erentielgalile´en,unpointmat´erielisol´ea`unmouvementrectiligne
uniforme.

Qu’est-ce qu’unmouvement rectiligne uniforme?
Un mouvement rectiligne uniforme est un mouvement pour lequelv=cte.
direction constante→rectiligne
norme constante→uniforme
immobilit´ecasparticulierv= 0

Qu’est-ce qu’unolis´ee´taleiropmtni?
C’estunpointaffecte´d’unemassequin’estsoumis`aaucuneforce.
C’estunesituationid´ealecarunobjetesttoujourssoumisa`desforces,cesforces
pouvt´eventuellementˆetrene´gligeablesousecompenser;onparlealorsd’objet
an

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pseudo-isole´.

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Qu’est-ce qu’unneit´frele´er?
Unref´erentielvanouspermettredere´pondreauxquestionsou`?etquand?En
´
effet,pourde´crireunmouvement,ilfautpouvoirpre´cisera`lafoiso`usetrouve
lepointet`uelinstantils’ytrouve.Pourpre´ciserou`setrouvelepoint,on
a q
utilisera unrpee`erilutone,neauerislitnatsnvuorty’spr´eciser`aqueliteopru
horloge:
r´efe´rentiel=rep`ere+horloge
Qu’est-cequ’unre´fe´rentielneel´liga?
Unre´fe´rentielgalile´enestunr´ef´erentieldanslequelunpointmat´erielisole´a`un
mouvement rectiligne uniforme.
Seulel’exp´eriencepourranousdiresiunre´f´erentielestgalil´eenoupas.

2

2eloi de Newton ou principe fondamental de la
namique

´
2.1Enonce´

dy-

Lemouvementestdoncmodifi´eparlesforces.Unmouvementestmodifi´esiladi-
rectionduvecteurvitesseet/ousanormevarie(fairelessche´mascorrespondants)
v6=cteou encorea6= 0 puisque :

dv
a=
dt

o`udv=v(t+dt)−v(tteurvitesseentreliens´tsemiladevucelastrivaioatnfinie)
instantstett+dt.
La 2elioedeNtwertnomalcfiidoitaesonartlatelneio-ee´´louvendum(accment
ration) et sa cause (force) :

Dansunre´fe´rentielgalile´enma=F.

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~
F

v~(t)

v(t+dt)
~

~(t+dt)−v~(t)
v

ou`Freeiam´tiotnaspuasseldemsedetnatluse´raleeu´iqplapesrcfoetsmdont
l’acce´le´rationesta.
Le principe d’inertie est le cas particulier du principe fondamental :

F= 0⇒a= 0⇒v=cte

Lamasse(inertielle)estdoncuncoefficientdeproportionnalit´e;pourFdonnee,
´
la modification du mouvement est d’autant plus grande quemest petit (il est
plusfaciledemodifierlemouvementd’unve´loqueceluid’uncamion!).

2.2 Exploitation

2.2.1 Solution analytique
´
Etudions le mouvement d’un projectile de massemealtinieilancenivetsse´aeevuc
v0slanduetnasepedpmahcenn´ere(orestrtertoetserfrelalggitnem.)s
Syst`eme´etudie´:projectileassimilable`aunpointmat´erieldemassem.
Re´ferentiel:repe`reOxyz(classe)suppos´egalil´een+horloge(onl’oubliesouvent
´
carletempsestuniverselenme´caniqueclassique).
Bilan des forces : poids.
Loi fondamentale :ma=mg.
Projection :
ax0
ay=−g
az0
cequidonneapre`sinte´gration:
v
y=−2g2x2+v00yx
v0x x

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C’est unesolution analytiqueueiqinqusdouneontcnomnoi´htatame,onaunef
tous les points de la trajectoire.
Lorsqu’iln’existepasdesolutionanalytiqueonarecoursadesme´thodesnume-
` ´
riqueso`ul’oncalculechaquepointdelatrajectoire.

2.2.2

cf TP

2.3

Solutionnume´rique

Peut-onr´esoudren’importequelprobl`eme?

Lesproble`mesquiontunesolutionanalytiquesontraresetcorrespondent
souvent`adessituationsid´eales.
Lare´solutionnume´riqueesttoujourspossibleencorefaut-ilquela2eloi de
Newtonpuisses’appliquerauproble`me.
Plusieurs fois dans l’histoire, on a cru trouver des situations remettant en cause
cetteloietplusieursfoisleproblemefutre´solu.
`
Exemple : en fait le mouvement d’une pla `te autour du Soleil n’est pas vraiment
ne
une ellipse mais on peut trouver les corrections en tenant compte de l’attraction
desautresplan`etes.Al’´epoque,onafaitcescalculsetcelamarchaitsaufpour
Uranus.LeVerrier(1811-1877)eul’ide´ed’attribuerladiff´erenceobserv´eea`une
plane`teinvisible.Oncalculalapositiondecetteplan`eteinvisible,onpointaun
t´elescopedansladirectioncalcul´ee,laplane`tee´taitl`a(Neptune)!Cefutun
grand `s pour la 2eloi.
succe
Pendantlongtempsoncrutqueseulsuneanalyseincomple`teoudescalculstrop
lourdspouvaientmettreende´fautla2eloi.
Ormˆemeentenantdetouteslesforcesetavecunecapacite´decalculillimit´ee,il
yadesdomainesou`la2eloi ne s’applique pas :

domaine microscopique→acinme´ueiqeqquntua
domainev'c→taletivi´er

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3

3.1

3eloi de
reaction
´

´
Enonc´e

Newton

ou

principe de l’action et de la

Lesforcesd’interactionre´ciproquequis’exercententredeuxpointsmat´eriels
sontoppos´eesetontpoursupportladroitejoignantcespoints.

3.2

U e con ´
n sequence

Le principe d’inertie ou la 2eNediola’snotwereeiam´tru-.loPque`ppliointaunp
quoipeut-onl’appliquera`uneplane`teparexemple?
Onde´coupelaplan`eteenmorceauxassezpetitspourpouvoirlesconside´rer
commedespointsmate´rielsdemassemitels quePimi=mmaslpaledes.ete`na
On peut alors appliquer la 2eeuopni:toi`achaql
miainiopf(stuasesertes´erlpasecercxef=roesofcrrtseseua)sl+eure´erisintorce
(forcesext´erieures)
miai=Xfj→i+fext→i
j6=i
Xmiai=X Xfj→i+Xfext→i
i i j6=i i
= 0 +Fext→planete

V´erifierpouri= 3 par exemple.

Xmiai=Xmid2dOMid2XmiOMi=ddt22mOG=ma(G)
=
t2dt2
i i i
Quandonassimileunsyst`emea`unpointmat´eriel,on´etudieenfaitlemouvement
d’unpointparticulierappele´barycentreoucentred’inertieoucentredegravite´
etonnetientcomptequedesforcesexte´rieuresausyste`me.

4

conclusion

Les trois lois.
Domainedevalidite´delame´caniqueclassique.

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