Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Oscillateur harmonique - Régime forcé

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Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est la suite du cours "Mécanique I"; il est composé de 6 chapitres : (1) Oscillateur harmonique - Régime forcé (2) Dynamique du point matériel en référentiel galiléen (suite) (3) Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives (4) Changements de référentiel (5) Dynamique en référentiel non galiléen (6) Système formé de deux points matériels

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MPSI - M´ecanique II - Oscillateur harmonique - R´egime forc´e page 1/3
h k
2
Oscillateur harmonique - R´egime
avec 2α = et ω =
0
m m
forc´e
2 R´egime transitoire
Table des mati`eres
La solution est la somme :
(h) (p)
x =x +x
1 Oscillateur harmonique amorti par frottement visqueux et sou-
(h)
x , solution homog`ene, est solution de :
mis `a une excitation sinuso¨ıdale 1
2
x¨+2αx˙ +ω x = 0
2 R´egime transitoire 1 0
La solution de cette ´equation diﬀ´erentielle tend vers 0 au bout de quelques
3 R´egime sinuso¨ıdal forc´e - Utilisation des complexes 1
1
τ = (voir cours Oscillateur harmonique - R´egime libre ).
2α
4 R´esonance en ´elongation 2
(p)
x , solution particuli`ere, est de la forme :
5 R´esonance en vitesse 2
(p)
C’est la suite du cours Oscillateur harmonique - R´egime libre .
x =X cos(ωt+ϕ)
m
On se limitera `a une excitation sinuso¨ıdale.
La solution particuli`ere oscille avec la mˆeme pulsation que l’excitation.
1 Oscillateur harmonique amorti par frottement vis-
queux et soumis `a une excitation sinuso¨ıdale
(h)
On parle de r´egime transitoire tant que x n’est pas n´egligeable.
~
R
3 R´egime sinusoıdal forc´e - Utilisation des complexes
¨
~ ~
T F
(h)
On parle de r´egime sinusoıdal forc´e lorsque x devient n´egligeable :
¨
x
(h) (p) (p)
x =x +x 'x
l >l
0
~
P
On travaille alors avec les complexes :
Nous retrouvons les forces du r´egime libre (force de rappel, amortissement) qui
x =X expj(ωt+ϕ) =X expjωt
m
m
constituent la partie homog`ene de l’´equation diﬀ´erentielle plus la force excitatrice
qui constitue le second membre :
avec X =X expjϕ
m
m
mx¨ =−kx−hx˙ +F cosωt
0
x est solution de :
F F
0 0
2 2
x¨+2αx˙ +ω x = cosωt x¨ +2αx˙ +ω x = expjωt
0 0
m m
Damien DECOUT - Derni`ere modiﬁcation : janvier 2007
MPSI - M´ecanique II - Oscillateur harmonique - R´egime forc´e page 2/3
qui devient :
F
0 1
2 2
(−ω +2αjω +ω )X =
Il y a r´esonance en ´elongation seulement si Q> √ (voir le cours d’´electrocin´e-
0 m
m
2
F tique R´egime sinusoıdal forc´e ).
0 ¨
m
X =
m
2 2
ω −ω +j2αω
0
Le d´ephasage ϕ est ´egale `a l’argument de X
m
4 R´esonance en ´elongation
2αω x
ϕ = argX =−arctan =−arctan
m
2 2
2
Q(1−x )
L’amplitude X est ´egale au module de X ω −ω
m
m
0
F
0
m
X =|X | =p
m
m
2 2 2 2 2
5 R´esonance en vitesse
(ω −ω ) +4α ω
0
que l’on peut aussi ´ecrire en introduisant le facteur de qualit´e Q et le rapport
dx
ω
v =
=x
dt
ω
0
F
0 dx
v = =jωx =jωX expjωt =V expjωt
m m
k
dt
s
X =
m
2
x
2 2
(1−x ) +
2
F
Q 0
kX m
m
V =jωX =jω
m m
2 2
ω −ω +j2αω
F
0
0
L’amplitude V est ´egale au module de V
m
m
F
0
m
p
V =|V | =ω
m
m
2
2 2 2 2
(ω −ω ) +4α ω
0
Q = 5
que l’on peut aussi ´ecrire en introduisant le facteur de qualit´e Q et le rapport
1
ω
=x
ω
0
Q = 0,5
Q = 0,2
F
0
h
V =s
m

2
1
2
x
1+Q x−
1 x
Damien DECOUT - Derni`ere modiﬁcation : janvier 2007
MPSI - M´ecanique II - Oscillateur harmonique - R´egime forc´e page 3/3
hV
m
F
0
1
Q = 0,2
Q = 0,5
Q = 5
x
1
Il y a toujours r´esonance en vitesse.
Le d´ephasage ϕ est ´egal `a l’argument de V
v
m
π 2αω π
ϕ = argV = −arctan = +ϕ
v
m
2
2
2 2
ω −ω
0
Damien DECOUT - Derni`ere modiﬁcation : janvier 2007