Devoir Libre N°01
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelelundi17septembre2012

DEVOIR LIBRE N˚01

EXERCICE 1:e´tilaegn´I
Soita1     anetb1     bn, 2nsopner´eels.Onombres

n n n
A=Xak2 B=Xb2k C=Xakbk
k=1k=1k=1

n
´P(x) =Xk)2en fonction dex A BetC.
Etantdonn´ex∈R, exprimez (akx+b
k=1
En consid´rant le discriminant deP(x), montrez queC2≤A×B. Dans quels cas a-t-on
e
e´galit´e?
Montrez que sia1     anals,sorsoptfititcirnemedtsesnoslts´ree
n
X1ak!×kXn=1a1k!≥n2
k=

EXERCICE 2:Formules sommatoires
L’objectifdecetexerciceestdeg´ene´raliserlesr´esultatsdel’Exercice 3de la planche
d’exercicesTD01.Vouspourrezvousinspirerdelam´ethode!

n
Soit (n p)∈N⋆×N. On noteS(n p) =Xkp.
k=1

Encalculantdedeuxmani`eresS(n+ 1 p+ 1), montrez que
q=Xp0qp+ 1S(n q) = (n+ 1)p+1−1

=n(n)2+1 S(n2) =
S(n4).

Retrouvez`al’aidedelaquestionpre´ce´dentelese´galite´sS(n1)
2
n(n2()1+6n+ 1) S(n3) =n(n+1)42, ainsi que l’expression de

1

Fin du sujet