Devoir Libre N°03
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1.

3.a.

b.

c.
4.a.

b.

c.

5.

a.

b.
c.

d.

6.a.
b.
7.a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelemercredi10octobre2012

DEVOIR LIBRE N˚03

` ´
PROBLEME 1:laa’dide´dfiein`eegrale’uneint´Etenu’dedunoitcnof
Montrezquepourtoutr´eelx∈]012[∪]1+∞´tge’lni,[raleZx2xlnd(tt)dt.einfie´dtse
Onconsid`erelafonctionFdfin´edaie]0ns12[∪]1+∞[ parF(x) =Zx2xlnd(tt)dt.
SoitG0]uenofd´ontincuresniefi1[∪]1+∞[ telle queGest une primitive det7→(1nlt)
sur ]01[ et sur ]1+∞[. ExprimezFl’`aiaededG.

D´eduisez-enqueFestd´e0]ruselbavir12[∪]1+∞[ et que pour toutx∈]012[∪]1+∞[,
F′(xlnn((2)l=xx)2)ln(x)
D´eterminezlesensdevariationdeF.
D´ ontrez que pour toutx∈]012[∪]1+∞[, on a ln(x2 )≤F(x)≤ln(xx)
em
x
D´eterminezleslimitesrespectivesdeF(x) et deF(x)euqsrolxtend vers 0.
x
D´eterminezleslimitesrespectivesdeF(x) et deF(xeuq)srolxtend vers +∞.
x
Onconside`rel’applicationΦ:]01]→R.
t7→2−2t+ ln(t)
Del’e´tudedesvariationsdeΦsur]01] (variations et limites aux bornes de l’intervalle de
d´efinition),de´duisezl’existenceunre´elα∈]012[ unique tel que Φ(α) = 0.
Prouvezquepourtoutr´eelt∈[α1], on a ln(t)≥2t−2.
Utilisezl’in´egalit´epr´ec´edentepour´etablirlamajoration,validepourx∈[α12[
1xdt
F(x)≤2Zx2t−1
D´eduisez-enlalimitedeF(x) lorsquext.21srevdne
De´montrezquepourtoutt∈[1+∞[, ln(t)≤t−1.
De´duisez-enlalimitedeF(x) lorsquextend vers 1.
R´esumezdansuntableaul’´etudedesvariationsdeF, ainsi que ses limites aux bornes du
domaineded´efinition.
On noteCedevitatnse´eprrebeurcolaFnusnade´(normrthoereorep`~~ıO). On pose
C′=C ∪ {O}.
Donnez l’allure deC′nteennpe´rcesinalttanaegOet les droites asymptotes.
Fin du sujet

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