Devoir Libre N°04

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 29
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelemercredi12novembre2012

DEVOIR LIBRE N˚04

` ´
PROBLEME 1:ordrervaudrpmeeietreecparam`Elnoitauqeriae´ni

Soitn∈N⋆el:itlereneisnore`dcnO.ontiff´di’´eluaeq

xy′+ny+=11x2

(En

)

R´esoudresurI=]0+∞(nsioatqu´ees[lE1), (E2) et (E3).
Pourx >0, on pose
φn(x) =Z0x1tn+−1t2dt
Exprimezlasolutiong´en´eralede(En) surI`dedia’laonctelafionφn.
Enremarquantquepourtoutre´elt∈[0 x],+11x2≤11+t2≤1, donnez un encadrement
deφn(x) puis la limite de :φnx(nx)0.en
De´duisez-enquel’´equation(En) admet surIune solution unique,fneitimelopss,tnnue´ad
finie en 0+mite..esice´rPilettecz
On prolongefnn0eeel.Dnc’ereadtnemedpraoctnniiu´tfn(x) sur [0+∞zeuqudsid,e´[e
′
fnzesice´rP.0neableerivstd´efn(0).
Enutilisantl’´equationdiff´erentielle(Enelzesnesete´nimrndioevadeatri),dfnsur [0+∞[
De´duisez-enquefna une limite finieℓen +∞.
On suppose queℓ >0teitcnnocoonidnsre`efolagnur]0fie´dsein+∞[ par

gn(x) =fn(x) +n2ℓln(x)

De´terminezleslimitesen+∞degn(x) et dexg′n(x). Trouvez
de´duisez-enlavaleurdeℓ.
Donnezl’alluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionfn.

1

une

contradiction

et

Fin du sujet