Devoir Libre N°05: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 25
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.
2.
a.
b.

c.
3.

4.

1.

2.
a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelemercredi14novembre2011

DEVOIR LIBRE N˚05

EXERCICE 1:iaeronrnlllenie´´esoluequEffidnoitaeitnere´

L’objectifdecetexerciceestder´esoudresurRoinuqta’le´

ty′−2y=t3

R´esolvezl’e´quation(2)surR+⋆et surR−⋆.
AnalyseSupposons qu’il existe une fonctionϕ:R→R, solution de (2) surR.
Quelle est l’expression deϕ(t) pourt > pour0 ?,t <0 ?
Que vautϕ(0) ?

(1)

De´duisez-enl’expressiondeϕ.
Synthe`seonstrouvesfonctifiizeuqle´vrentsoteenedc´´eprnoitseuqala`see´sitnoosulibne
de (2) surR.
D´eterminezla(les)solution(s)de(2)surRntfiari´eitndcolanoivϕ(1) = 0.

EXERCICE 2:leelEtuded’une´euqtaoifnnotcoinn

Soitf:R→Rneucnofnoittnoceuniorrpltpafiina´vre´e:i´et
(⋆) pour toutx∈R f(x) =−1−Z0x(2x−t)f(t)dt

De´montrezquefest solution surRuaCedyhc`lbodemerd’o2redupr
y′′+xy′+ 3y= 0 (L)
y(0) =−1 y′(0) = 0

Re´solutionde(L)
Soity:R→Renofunoedcnitsnadfouxd´isiverleabRnO.fie´dltinafonctionz:R→R
x2Montrez queyest solution de (L) surRsi et seulement size
pary(x) =z(x)e−2. st
solution de

(D)

z′′−xz+ 2z= 0

De´montrezqueDvzo.uD´sedd´ueitmeiramlienqeureenoopyloneesn-ozsnuelitadtume
x2
−
unesolutionduprobl`eme⋆de la formef(x) =h(x)e.
2

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Fin du sujet