Devoir Libre N°06: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 23
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelemercredi30novembre2011

DEVOIR LIBRE N˚06

`
PROBLEME 1:Lemniscate de Bernouilli

Leplanestrapport´e`aunRONDR= (~O~ı). On note pourθ∈R,

~uθ= cos(θ)∙~ı+ sin(θ)∙
~
~vθ=−sin(θ)∙~+ cos(θ)∙~
ı

One´tudielacourbeΓforme´edespointsM∈ Pnafiiterv´
M F×M F′= 1u`oF10etF′−10

LacourbeΓestappel´eeLemniscate de Bernouilli.
PartieI.Ge´om´etrieplane

JustifiezqueΓestsyme´triqueparrapportauxaxes(Ox) et (Oy).
D´eterminezl’intersectiondeΓaveclesaxes(Ox) et (Oy).
D´eterminezunre´elRtel que la courbe Γ soit incluse dans le disque de centreOet de
rayonR.

PartieII.Parame´trisationdeΓ

Afinderepre´senterΓ,nousallonsende´terminerunee´quationpolaire.
SoitMennodroocedeme`(esirlapoesnuopsystn,deuplaintdρ θ).
´
ExprimezM F2edtemˆemeM F′2en fonction deρetθ.
Demontrez queM∈Γsi et seulement siρ4= 2ρ2cos(2θ).
´
De´duisez-enqueρ=p2 cos(2θ)see´uqutenpseeialodser.Γeioatncnerdoon´on
PartieIII.Etudeettrace´deΓ

On noteM(θreetm`arapedtniopel)θireopalitnoqeaude´’rbouaceld
ρ(θ) =p2 cos(2θ)

c’est-a`-direlepointde´termine´parlarelationvectorielle:
−−→
OM=ρ(θ)∙~uθ

Pr´ecisezledomained’e´tudedeρ.
Donnez le tableau de signe et le tableau de variations deρsur [0 π4].
Pour quelsθ∈[0 πbruocal]4Γerpe´estn-e-tleleunetangenteortarohlaid?e
Repr´esentezl’alluredeΓ.
Fin

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