Devoir Libre N°13: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 34
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.
a.

b.
2.
3.

a.

b.

4.

c.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚13

a`rendrevendredi4mai2012

EXERCICE 1:lgAinelbr`eaderiae´snM3(R)
On se place dans l’espace vectorielE=M3(Rtnscffieicaeoirtacsec)msedrd’o3`rer´arsdee
reels. On donne
´
3−2 0
A=2002013 P=211001111 T=10200
0 2 1

Lebutdel’exerciceestd’´etudierl’ensembleC(A) des matrices qui commutent avecA:

C(A) ={M∈ M3(R)|A×M=M×A}

Calculsmatricielspr´eliminaires
Montrez quePnvtisieresetmrnizelbeedte´P−1.
CalculezP−1×A×P.
De´montrezqueC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R).
SoitM∈ M3(R), une matrice quelconque.
′
On poseM=P−1×M×P. Montrez que

A×M=M×A⇐⇒

T×M′=M′×T

Prouver alors qu’une matriceM′deM3(Rre´vefii)T×M′=M′×T
ilexistedesre´elsa b ctels que
M′=00a0b0bc0

si et seulement si

End´eduirequeMpaaprtient`aC(A)si et seulement siiixellseeedstr´esa b ctels que
−a+ 2bb22aa−−2bb−−aa++b+ 2c
M=−a0+0b+bc

De´terminezunebasedeC(A).

1

Fin du sujet