Devoir Libre N°14: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 29
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

a.

b.
c.

d.
e.
2.

a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚14

`
PROBLEME 1:Pmeˆoynole´tcaraceuqitsir

a`rendrevendredi4juin2012

SoitA∈ Mn(K.)eLecaract´polynˆomedesireuqitAdtsefin´earip

∀λ∈K χA(λ) = Det(A−λIn)

sineezquerifi2,v´=χA(λ) =λ2−Tr(A)λ+ Det(A(Tr`u,o)A) =a11+a22est la somme
des coefficients diagonaux deA
Nb :Tr(A)seatpplee´aeltracedeA.
De´terminezlepolynˆomecaract´eristiqued’unematricetriangulaire.
Justifiezquelepolynˆomecaract´eristiqueestunpolynˆome.Pre´cisezsondegr´e,soncoeffi-
cient dominant et son coefficient constant.
Montrez que le coefficient deλn−1est (−1)n−1Tr(A).
Montrezquedeuxmatricessemblablesontmeˆmepolynoˆmecaracte´ristique.
Soitfun endomorphisme deKnecirtamenua`e´iacssocentaquemnoniA∈ Mn(K).
D´efinition:Un scalaireλ∈Kest unevaleur propredef(ou deA) siKer(f−λId)6=
{~0}.
Leicossaere´ess-ousopprcepaavala`propleurreλest alorsEλ(f) =Ker(f−λId).

Montrez que pour toutλ∈K,

λest une valeur propre defsi et seulement siλuqesiitert´acarecomnˆlyopudenicartse
χA.

D´eterminezlesvaleurspropresetlessous-espacespropresdel’endomorphismecanonique-
mentassoci´ea`
1 1 1 1
A=111−−111−−111−−111

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Fin du sujet