Devoir Surveillé N°01

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 29 septembre 2012 ´DEVOIR SURVEILLE N˚01 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Tout ou presque a d´ej`a ´et´e trait´e dans ce sujet.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 58
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚01

dur´eedel’´epreuve4heures

Samedi 29 septembre 2012

Toutoupresqueadej`a´ete´trait´edanscesujet.Prenez10minutesaud´ebutdel’e´preuve
´
pourregarderl’ensembledusujetetrepe´rerlespartiesquevousconnaissezbien,ouau
contraire les parties qui vous semblent plus difficiles.
etd´ebutezparcequevoussavezlemieuxfaire!

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

PROBLE`ME1:Racinesni`emesl’unit´ede
Mots-cle´s:e´quation1 +z+∙ ∙ ∙+zn−1= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈6 pt

EXERCICE1:Calculsdesommestrigonom´etriques
Mots-cle´s:sommestrigonom´etriques,t´elescopage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

´
EXERCICE2:Equationpolynomialededegre´3
Mots-cl´es:racinescarr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈4 pt

´
EXERCICE3:Equationpolynomialededegre´n
Mots-cl´es:racinesn`imesed’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈3 pt

´
EXERCICE 4 : Etude d’une fonction
Mots-cl´es:variations,bijection,applicationre´ciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .≈3 pt

Nb :L’utilisation desicesalculatrcestinterdite.

1

PROBL`EME1:Ra sni`unit´e
cineemesde l’
Soitn∈NtenoOn2.`aalegu´e´irueortneisrpuune2iπ
ω=en.
1.a.Resolvez dansCno+1auit’´eq,lz+∙ ∙ ∙+zn−1= 0.
´
Indication :vous pourrez observer que 1 n’est certainement pas solution.
queXs
b.nEeriude´dn−1=0co2nπk= 0.
k

c.

2.a.

b.

3.

a.

b.

1.

c.

2.a.

b.

D´eduisezdelaquestionpr´ec´edentel’expressiondela

n−1
sommeX|ωk−

1|2en fonction de

k=0
n.
n
Soitp∈[0 n]]. Montrez que la sommeXωkpvautnsip= 0 oup=net est nulle sinon.
k=1
n
Montrez que pour tout nombre complexez∈C, on aX(z+ωk)n=n(zn+ 1).
k=1

Soita,bdeux nombres complexes
n−1
CalculezX(a+ωkb) en fonction denet dea.

k=0
n−1n
Montrez quen|a| ≤X|b+ωka|=X|a+ωpb|
k=0p=1
n−1
D´eduisez-enque|a|+|b| ≤n2X|a+ωkb|
k=0

EXERCICE 1:rtginomoedosmmseCalculseuqirte´s

Soit (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites telles que pour tout entier natureln∈N,

un=vn+1−vn

n−1
Soitn∈N⋆mentd’indice,expr’ilmieazed’dnuhcnaeg`A.Xuken fonction devnetv0.
k=0
V´erifiez–lorsqu’elleaunsens–larelation

cotan (x)−2cotan (2x) = tan(x)

cos(x)
o`ucotan(x) = sin(x.)
on re
De´duisez-enuneexpressi´duitedelasomme

n
S1=X2ktan(2kx)
k=0

2

3.a.
b.

1.

2.
3.
4.
5.

1.

2.
3.

1.
2.

3.

Exprimez – quand cela a un sens– tanp−tanqen fonction de sin(p−q), cospet cosq.
De´duisez-enuneexpressionre´duitedelasomme

n1
S2=k=X1xcos(k+ 1)x
cosk

´
EXERCICE 2:quEmonyelaioitalopn3dedegr´e

D´eterminezlesracinescarr´ees(complexes)de5−12i.
Onconside`rel’´equationd’inconnuez∈C

z3−(1 + 2i)z2+ 3(1 +i)z−10 (1 +i) = 0

(1)

Montrer que (4) admet une solution imaginaire pureia`uo,amrnie´etre.unsteadl`eer´
De´duisezenunefactorisationdeP(z) =z3−(1 + 2i)z2+ 3(1 +i)z−10 (1 +i).
Achevezlare´solutionde(4).
Quellessontlesparticularit´esdutriangledontlessommetsontpouraffixeslestroisracines
de (4). Justifiez.

´
EXERCICE 3:atquEynolnpiomoaielededrge´n
Soitnun entier naturel non nul etalaeearppnate`a]n0t´rnu π2[.
Pr´esentezlenombrecomplexeτ1+=1−iitanatnaasous forme exponentielle.
D´eterminezlesracinesnsi`emedeτ.
Re´solvezl’e´quationd’inconnuez∈C
1−zizn1=−itana
1 +i1 +itana

´
EXERCICE 4:Etude d’une fonction
Soitf: [1+∞[→R´dfieinpeuotruotfolatincx≥1 par
on

x+ 2
f(x 2) =x2x2+1+

(2)

Montrez quefcteeuclazelestd´erivablf′.
´
Etudiez les variations defdeiute´denqusez-efejibnuesrusnoitcrvteinunlealealir´Ja`
d´eterminer.
Explicitezl’applicationre´ciproquef−1:J→[1+∞[.

3

Fin du sujet