Devoir Surveillé N°02

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 20 octobre 2012 ´DEVOIR SURVEILLE N˚02 dur´ee de l’´epreuve 4 heures (pas moins;-)) LISEZ-MOI! Ce sujet propose un tour d’horizon assez complet des m´ethodes de r´esolution ´etudi´ees au cours des trois derniers chapitres. Il y a forc´ement beaucoup de questions que vous savez traiter. Prenez 10 minutes au d´ebut de l’´epreuve pour regarder l’ensemble du sujet et rep´erer les parties que vous connaissez bien, ou au contraire celles qui vous semblent plus difficiles. et d´ebutez par ce que vous savez le mieux faire! Vous devez viser 100% de r´eussite sur votre premier choix! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF ` ´PROBLEME 1 : Equations d’Euler ´Mots-cl´es : Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2, `a coefficients constants, `a co- efficients continus, changement de variable ......................................≈ 8 pt EXERCICE 1 : Autour de Argth Mots-cl´es : simplification d’une expression, trois m´ethodes....................≈ 3 pt EXERCICE 2 : Autour de Arctan Mots-cl´es : ´etude d’une fonction, croissance de l’int´egrale, d´erivabilit´e, int´egration par parties ..........................................................................≈ 6 pt EXERCICE 3 : Autour de Arc sinus ´Mots-cl´es : Etude d’une fonction, simplification d’expression .................≈ 3 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 50
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

LISEZ-MOI !

´
DEVOIR SURVEILLE N˚02

Samedi 20 octobre 2012

dure´edel’e´preuve4heures(pasmoins;-))

Cesujetproposeuntourd’horizonassezcompletdesm´ethodesdere´solution´etudie´esau
coursdestroisdernierschapitres.Ilyaforc´ementbeaucoupdequestionsquevoussavez
traiter.Prenez10minutesaud´ebutdel’´epreuvepourregarderl’ensembledusujetet
repe´rerlespartiesquevousconnaissezbien,ouaucontrairecellesquivoussemblentplus
difficiles.
etde´butezparcequevoussavezlemieuxfaire!Vousdevezviser100%dere´ussitesur
votre premier choix !

´ ˆ
COMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF

` ´
PROBLEME 1 : Equations d’Euler
´
Mots-cl´es:Equationsdiffe´rentielleslin´eairesd’ordre2,a`coefficientsconstants,a`co-
efficients continus, changement de variable. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈8 pt

EXERCICE 1 : Autour de Argth
Mots-cl´es:simplificationd’uneexpression,troism´ethodes. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ≈3 pt

EXERCICE 2 : Autour de Arctan
Mots-cle´s:e´tuded’unefonction,croissancedel’int´egrale,d´erivabilite´,int´egrationpar
parties..........................................................................≈6 pt

EXERCICE 3 : Autour de Arc sinus
´
Mots-cle´s:Etuded’unefonction,simplificationd’expression. . . . . . . . . . . . . . . . .≈3 pt

Nb :L’utilisation descuclatrlaesicestidetiernt.

1

1.
2.
a.
b.
3.
a.
b.
4.
a.
b.

1.

a.
b.
c.
d.

2.

a.

b.

c.
d.
3.a.

b.
c.

EXERCICE 1:Autour de Argth
3x+xx23.

Onseproposedesimplifierl’expressiondelafonctiond´efinieparf(x 1) = Argth + 3
V´erifiezquefniesd´efiestru]−11[.
Premi`ereme´thode:al`nemegnahcudedia’bletdevariay (= Argthx).
Exprimez pour touty∈R, th (3y () en fonction de thy).
D´eduisez-enpourx∈]−1serpxeenpmisnoisdeeefi´li1[,uf(x).
Deuxie`mem´ethode:vir.ee`al’aidedelad´e
´
Pour toutx∈]−11ca[,ullcesdeev´ri´esdleezf(x) et de 3Argth (x).
D´eduisez-enpourx∈]−1,[nu1e´fiiedensioplimxpeessref(x).
Troisi`emem´ethode:delee’px`laa’diArdeueiqh.gtlnoissermhtirago
Pour toutx∈]−11[, rappelez l’expression de Argth (xid’a’uedognlitarmh.ela`)
D´eduisez-enpourx∈]−1il´fieeed1[,uneexpressionsimpf(x).

EXERCICE 2:ensseiMoursconcetitdesPatcr’d,n`rpaelseAouuteArd

Soitg:R→Ropeinfie´tuotruplapl’ndioaticx∈Rparg(x) = Arctan (x)−x+x33
V´erifiezquegest impaire.
Justifiez quegrelusviba´dreRfoncezsaicitexplte.ee´vire´dnoit
Montrez que pour toutt∈R, 0≤g′(t)≤t2
Utilisezlacroissancedel’int´egralepourende´duirequepourtoutx∈R+⋆,

x3
x−3≤Arctan (x)≤x
Soitf:R→Ruotrtinfieuopeppilla’no´dacitx∈Rparf(x) =(1Acrat(nx)

x
Montrez quefest paire.
Utilisezlere´sultatdelaquestion1.drue´opertudixli→m0+Arctan (x)−x
x2.
D´eduisez-enquefzennoetsabiverd´td0eenlef′(0).
Justifiez quefvibaelusrestd´erR+⋆et calculezf′(x), pourx∈R+⋆.
A`l’aided’uneinte´grationparparties,montrezquepourtoutx∈R+⋆
Zxt22dt=−12x2f′(x)
0(1 +t2)

D´eduisezdesquestionspre´c´edentesletableaudevariationsdefsurR
Tracez la courb ´ entative defnausde`errnpethororone.m´
e repres

2

+
.

six= 0
six∈R⋆

.

1.

2.
3.

1.
a.

b.
2.

1.

2.

EXERCICE 3:Autour de Arc sinus
Onconsid`erelafonctiond´efinie

par
f(x) = Arcsin+12xx2

la

D´eterminezl’ensembledede´finition,decontinuite´etded´erivabilit´edef. Calculez
d´erive´edefsur ce dernier ensemble.
´
Etudiez les variations defecarcaszbruopereesr´taenveti.ett
De´montrezquepourtoutx∈[−11],f(x () = 2Arctanxe´D.)ezinrmterexpsedessions
similaires def(xllvadeessireerntedelfie´dne’lbmesruelastu)s,ondenitif.

` ´
PROBLEME 1:Equations d’Euler
Dansceproble`meoncherchelessolutions–`avaleursre´elles–dese´quationsdiff´erentielles
lin´eairesdudeuxie`meordrea`coefficientscontinusdelaforme

ou`(a b)∈R2.

t2y′′(t) +at y′(t) +b y=c(t)

´
Partie I. Etude d’un exemple
Danscettepartie,onr´esoutsurI=R+⋆l’noitauqe´

t2y′′(t) + 3t y′(t)−3y(t) =t+ 1

(E1)

On effectue le changement de variablex= ln(t), et on notez(lnt) =y(t).
Montrez queyest solution de (E1) surR+⋆si et seulement sizest solution surRde
l’´equation
z′′(x) + 2z′(x)−3z(x) =ex (+ 1E2)

Re´solvez(E2) surR.
De´duisez-enl’ensembledessolutionsde(E1) surI=R+⋆.
PartieII.Re´solutiondel’e´quationhomoge`neassoci´ee
Soit (a b)∈R2ne`ee´’ltauqhnoigomoie,opartsoutnr´eD.teetnacs

t2y′′(t) +at y′(t) +b y(t) = 0

(H1)

On effectue le changement de variablex= ln(t), et on notey(t) =z(lnt), comme
pre´ce´demment.Montrezqueyest solution surR+⋆de (H1)si et seulement sizest
solution surR`gomdeneiae´oherrd’o2,reuqtaoidned’le´ielleliniff´erent

z′′(x) + (a−1)z′(x) +bz(x) = 0

R´esolvez(H2) en distinguant trois cas.
−
Note :zrepourall´egerlesnoatitno,sovsuonetα=12aetβ2=1

3

4b−(a−

(H2)

1)2.

3.
a.

b.

1.

2.
3.

4.

On suppose quea=−5 etb= 4.
Achevezlare´solutionsurI=R+⋆de (H1) en ce cas.
eterminezlasolutionduproble`medeCauchyyt(1) = 1 ety′(1) = 0
D´2y′′(t)−5t y′(t) + 4y(t) = 0
PartieIII.R´esolutiond’une´equationfonctionnelle

.

Onde´terminel’ensembledesfonctionsf:R+⋆→Rde classeC1surR+⋆ifitanv´er

pour toutt >0

f′(t) =f(1t)

(F1)

Soitf:R+⋆→Rune fonction de classeC1(vntfiari´eF1). Montrez quefest de classeC2
surR+⋆.
V´erifiezquefest solution surR+⋆atio´equ´erendiffu’ende(´eotdelleitnn,reluE’F2)
Montrez que les solutions de (F2) surR+⋆soniefinurssseltcnofnoite´dsR+⋆par
y(t) =t"C1cos32l(nt)!+C2s n2n(t)!#
i3l

De´duisez-enl’ensembledessolutionsde(F1).

4

Fin du sujet