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Extrait
MPSILyc´eeRabelias
Devoir
Surveille
´
n˚10
samedi 12 juin 2010
dure´edel’´epreuve4heures
LISEZ-MOI:lesujetestlongetprogressif:lesproble`mescommencentparlesparties
lesplusfacilesetsecompliquentensuite.Soignezlespremi`eresquestions!!
`
PROBLEME 1 :rbe`glae
≈
Mots-cle´s:iae´adersnlgabr`einelR2[X,]llneonti.eseresftartcoisnar´equasdifflin´eai
PROBLEME 2 :nielarge´ttSrieledilgnallisdeWormusetf≈
Mots-cle´s:t´inraegitsud’es´egralesulsd’intil,saccleldsWelaesalrge´tni’dsetius,
EXERCICE 1´ralet´egonincnitenofdeu’tedu
:
Mots-cl´es:innerupaleraegt´lcse`rt:!euqissa!tcoifnonfieidne´
1
≈
10puntos
10puntos
25puntos
PROBLEME 1:
ALGEBRE
Partie I.Etude d’un endomorphisme
On noteE=R2[Xe]otis`dcnnoelerpp’acaliontiϕiuqota`optuˆnylomeP
pondrelepolynoˆmeϕ(Pinfie´d)r:pa
ϕ(P)(X) = (X2−1)P′′(X) + 2X P′(X)
∈R2[X] fait corres-
1. Montrez queϕest un endomorphisme deE.
2rmteezin´e.DealamrtciMedesentativerrpe´ϕdans la base canoniqueB= (1 X X2) deE.
3. Soitλ∈R. Montrez queϕ−λidEest bijectif, si et seulement siλ∈{026}.
4. Donnez une base du noyau deϕ−6idE.
Partie II.qEauitnoidff´erentiellelin´riaeo’deerdr2
Ond´esigneparIl’intervalleI= [−2121runcon]etoeressid`Iireaeqe´’lidnoitautienerff´n´lileel
′
(x2−1)y′′+ 2xy−6y= 0
(1)
1rus)1(esdontilusoesalmie´D.snopylonfsnotcoitoutesleterminezI.
SoitKalfiina´vre(e)1ladenomipolytionsoluleiacaltidnonoittiniK0)(.O=1´endnfitialofcnitno
f:I→Rpar :
1
=
∀x∈I f(x()x2−1)K2(x)
et on noteF:I→Rla primitive defs’annulant en 0.
2 que la fonction. MontrezKFest solution de (1).
3simplesdl´ementsed´laezinrmte´e.De´nenoitisopmocef.
4iossend’enlrexpudsizee-D.e´F.
Partie III.oitacilpnDoce´tioipmsolee´en´nssimmentetapples
Soientd∈N⋆un entier naturel non nul etτ1 τ2 τd,dlee´ffidsere´dstnete1denombresr−1
etdeux`adeuxdistincts.
d1
SoitLemoˆnylopelL(X) =kY=1(X−τk) etRla fraction rationnelleR(X) = (X2
−1)L2(X.)
Onsaitqu’ilexistedesnombresre´elsα β a1 ad b1 bdtels que
1.
R(X) =αX−+1βXdk=1(X−adk
+ 1 +Xτk)2+X=1(
k
˜ ˜
Calculezαetβen fonction deL(1) etL(−1).
2
bk
X−τk)
2.
3.
4.
5.
Pour toutk∈[1 d]], exprimezaken fonction deτketL′(τk).
Indication :opnuorrleytniˆnotmreodau`iraecleetpeoffLk(X) =Y(X−τj).
j6=k
Pour toutk∈[1 d]], exprimezbken fonction deτk, deL′(τk) et deL′′(τk).
Onde´finitlepolynoˆmeSparS(X) = (X2−1)L′′(X) + 2X L′(X).Montrezl’´iuqeelav:ecn
∀k∈[1 d]] bk= 0⇐⇒∃∈R S(X) =L(X)
En ce cas, verifiez que=d2+d.
´
Danslecasou`dnemiepzld´2,eretnyloemoˆes`aalegt´Ltel que∀k∈[12]]
PROBLEME 2:isllWadeesalItne´rg
Partie I.gralnt´eIsiaWllseed
On note, pourn∈N,
et
π2
Zn
formule
de
bk= 0.
Stirling
In (= sinx)dx
0
1. CalculezI0etI1.
e
2 que la suite (. MontrezIn´dtse)nassiorcd´enettequreuiedeetse’llreegocvnnte.
3. Montrez que pour tout entiern,In+2=nn+21+In.
4ednoisserpxeeunenz-seuiedD´.I2petI2p+1en fonction depfaisant intervenir
binomial2pp.
(n+ 1)InIn+1=π2.
πe2n22n
puis qu∼.
2n n πn
5. Montrez que∀n∈N
6.Eneriude´deuqIn∼
Partie II.Formule de Stirling
le coefficient
k
1 pour tout entier. Etablissezk≥2 l’encadrement ln(k−1)≤Zln(t)dt≤ln(kez-eduis.D´e)n
k−1
que ln(n!)∼nln(n).
2. Soitk≥2 un entier. On notewk= ln(k)−Zkk−1ln(t)dtetJk=Zkk−1(t−k+t21)(k−t)dt.
a que. Montrezwk=Zkt−k+ 1dt.
k1t
−
b. Montrez quewk=12lnk−ln(k−1)−21Jk.
3
cxamelzenimrete´Dmdmunimileetumime.t7→(t−k+1)(k−t) sur [k−1 kseuienz-]te´dde
l’encadrement
0≤Jk≤41k−11−1k
p
3. Soitn≥2fixdne´e´O.nfitiRnp=XJk. Montrez que la suite (Rnp)p>nest croissante et
k=n+1
mRp. Donnez un majorant simple deRn.
majore´e.OnnoteRn=pl→i+∞n
n
4. Pourn≥2, on noteSn=XJk.
k=2
Montrez (rapidement) que la onve en eℓ= limSn.
suite (Sn)n≥2 te. On notest c rgn→+∞
Donnez une relation entreSn,Rnetℓ.
5 ln(. Exprimezn!) en fonction den, lnn,ℓetRnu´’Drdnecn.de-szineeti’ulexse´eelctel que
n!∼c nnen
6esilitU.dentlevauieq’´zl2nnobtenu dans laPartie Ipour prouver quec=
Remarque :laablinsaieti´naoFormule de
n!∼
Stirling
2πnnn
e
2π.
Exercice 1:nt´egraletuEfenu’dedinoitcno
2x
Onseproposed’e´tudierlafonctionf:x7→Zxln(1dt+t2.)
1deontiniefid´deneiamodelzenimrete´D.f.
2 que. Montrezfest impaire.
3 que. Montrezfleabrsu´dtsvireeR⋆tdete´emrnizef′. Dressez le tableau de variation def(sans
les limites).
4. Soitx∈R+⋆. Encadrezf(ximslesitdedeiute´dneeles-z)
des´eventuellesbranchesinfinies.
5 l’allure du graphe de. Donnezf.
4
fen 0+et en +∞rP.ice´lzesanature