Devoir Surveillé N°10: Années précédentes
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´MPSI Lycee Rabelais samedi 12 juin 2010 Devoir Surveill´e n˚10 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI : le sujet est long et progressif : les probl`emes commencent par les parties les plus faciles et se compliquent ensuite. Soignez les premi`eres questions!! ` PROBLEME 1 : alg`ebre ≈ 10 puntos Mots-cl´es : alg`ebre lin´eaire dans R [X], ´equas diff lin´eaires et fractions rationnelles.2 PROBLEME 2 : int´egrales de Wallis et formule de Stirling ≈ 10 puntos Mots-cl´es : suites d’int´egrales de Wallis, calculs d’int´egrales, suites d’int´egrales EXERCICE 1 : ´etude d’une fonction int´egrale ≈ 2,5 puntos Mots-cl´es : fonction d´efinie par une int´egrale : tr`es classique!! 1 PROBLEME 1 : ALGEBRE Partie I. Etude d’un endomorphisme On note E = R [X] et on consid`ere l’application ϕ qui `a tout polynˆome P ∈ R [X] fait corres-2 2 pondre le polynˆome ϕ(P) d´efini par : 2 ′′ ′ϕ(P)(X) = (X −1) P (X)+2X P (X) 1. Montrez que ϕ est un endomorphisme de E. 22. D´eterminez la matrice M repr´esentative de ϕ dans la base canoniqueB = (1,X,X ) de E. 3. Soit λ∈R. Montrez que ϕ−λ·id est bijectif, si et seulement si λ∈/{0,2,6}.E 4. Donnez une base du noyau de ϕ−6id .E Partie II. Equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2 1 1On d´esigne par I l’intervalle I = [− , ] et on consid`ere sur I l’´equation diff´erentielle lin´eaire 2 2 2 ′′ ′(x −1)y +2xy −6y = 0 (1) 1. D´eterminez toutes les fonctions polynomiales solutions de (1) sur I.

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MPSILyc´eeRabelias

Devoir

Surveille
´

n˚10

samedi 12 juin 2010

dure´edel’´epreuve4heures
LISEZ-MOI:lesujetestlongetprogressif:lesproble`mescommencentparlesparties
lesplusfacilesetsecompliquentensuite.Soignezlespremi`eresquestions!!

`
PROBLEME 1 :rbe`glae

Mots-cle´s:iae´adersnlgabr`einelR2[X,]llneonti.eseresftartcoisnar´equasdifflin´eai
PROBLEME 2 :nielarge´ttSrieledilgnallisdeWormusetf≈

Mots-cle´s:t´inraegitsud’es´egralesulsd’intil,saccleldsWelaesalrge´tni’dsetius,
EXERCICE 1´ralet´egonincnitenofdeu’tedu
:

Mots-cl´es:innerupaleraegt´lcse`rt:!euqissa!tcoifnonfieidne´

1

10puntos

10puntos

25puntos

PROBLEME 1:

ALGEBRE

Partie I.Etude d’un endomorphisme

On noteE=R2[Xe]otis`dcnnoelerpp’acaliontiϕiuqota`optuˆnylomeP
pondrelepolynoˆmeϕ(Pinfie´d)r:pa

ϕ(P)(X) = (X2−1)P′′(X) + 2X P′(X)

∈R2[X] fait corres-

1. Montrez queϕest un endomorphisme deE.
2rmteezin´e.DealamrtciMedesentativerrpe´ϕdans la base canoniqueB= (1 X X2) deE.
3. Soitλ∈R. Montrez queϕ−λidEest bijectif, si et seulement siλ∈{026}.
4. Donnez une base du noyau deϕ−6idE.

Partie II.qEauitnoidff´erentiellelin´riaeo’deerdr2
Ond´esigneparIl’intervalleI= [−2121runcon]etoeressid`Iireaeqe´’lidnoitautienerff´n´lileel


(x2−1)y′′+ 2xy−6y= 0

(1)

1rus)1(esdontilusoesalmie´D.snopylonfsnotcoitoutesleterminezI.
SoitKalfiina´vre(e)1ladenomipolytionsoluleiacaltidnonoittiniK0)(.O=1´endnfitialofcnitno
f:I→Rpar :
1
=
∀x∈I  f(x()x2−1)K2(x)
et on noteF:I→Rla primitive defs’annulant en 0.
2 que la fonction. MontrezKFest solution de (1).
3simplesdl´ementsed´laezinrmte´e.De´nenoitisopmocef.
4iossend’enlrexpudsizee-D.e´F.

Partie III.oitacilpnDoce´tioipmsolee´en´nssimmentetapples
Soientd∈N⋆un entier naturel non nul etτ1 τ2     τd,dlee´ffidsere´dstnete1denombresr−1
etdeux`adeuxdistincts.
d1
SoitLemoˆnylopelL(X) =kY=1(X−τk) etRla fraction rationnelleR(X) = (X2
−1)L2(X.)
Onsaitqu’ilexistedesnombresre´elsα β a1     ad b1     bdtels que

1.

R(X) =αX−+1βXdk=1(X−adk
+ 1 +Xτk)2+X=1(
k

˜ ˜
Calculezαetβen fonction deL(1) etL(−1).

2

bk
X−τk)

2.

3.
4.

5.

Pour toutk∈[1 d]], exprimezaken fonction deτketL′(τk).
Indication :opnuorrleytniˆnotmreodau`iraecleetpeoffLk(X) =Y(X−τj).
j6=k
Pour toutk∈[1 d]], exprimezbken fonction deτk, deL′(τk) et deL′′(τk).
Onde´finitlepolynoˆmeSparS(X) = (X2−1)L′′(X) + 2X L′(X).Montrezl’´iuqeelav:ecn

∀k∈[1 d]] bk= 0⇐⇒∃∈R S(X) =L(X)

En ce cas, verifiez que=d2+d.
´
Danslecasou`dnemiepzld´2,eretnyloemoˆes`aalegt´Ltel que∀k∈[12]]

PROBLEME 2:isllWadeesalItne´rg

Partie I.gralnt´eIsiaWllseed

On note, pourn∈N,

et

π2
Zn

formule

de

bk= 0.

Stirling

In (= sinx)dx
0
1. CalculezI0etI1.
e
2 que la suite (. MontrezIn´dtse)nassiorcd´enettequreuiedeetse’llreegocvnnte.
3. Montrez que pour tout entiern,In+2=nn+21+In.
4ednoisserpxeeunenz-seuiedD´.I2petI2p+1en fonction depfaisant intervenir
binomial2pp.
(n+ 1)InIn+1=π2.
πe2n22n
puis qu∼.
2n n πn

5. Montrez que∀n∈N

6.Eneriude´deuqIn∼

Partie II.Formule de Stirling

le coefficient

k
1 pour tout entier. Etablissezk≥2 l’encadrement ln(k−1)≤Zln(t)dt≤ln(kez-eduis.D´e)n
k−1
que ln(n!)∼nln(n).
2. Soitk≥2 un entier. On notewk= ln(k)−Zkk−1ln(t)dtetJk=Zkk−1(t−k+t21)(k−t)dt.
a que. Montrezwk=Zkt−k+ 1dt.
k1t

b. Montrez quewk=12lnk−ln(k−1)−21Jk.

3

cxamelzenimrete´Dmdmunimileetumime.t7→(t−k+1)(k−t) sur [k−1 kseuienz-]te´dde
l’encadrement
0≤Jk≤41k−11−1k

p
3. Soitn≥2fixdne´e´O.nfitiRnp=XJk. Montrez que la suite (Rnp)p>nest croissante et
k=n+1
mRp. Donnez un majorant simple deRn.
majore´e.OnnoteRn=pl→i+∞n
n
4. Pourn≥2, on noteSn=XJk.
k=2
Montrez (rapidement) que la onve en eℓ= limSn.
suite (Sn)n≥2 te. On notest c rgn→+∞
Donnez une relation entreSn,Rnetℓ.
5 ln(. Exprimezn!) en fonction den, lnn,ℓetRnu´’Drdnecn.de-szineeti’ulexse´eelctel que
n!∼c nnen

6esilitU.dentlevauieq’´zl2nnobtenu dans laPartie Ipour prouver quec=
Remarque :laablinsaieti´naoFormule de

n!∼

Stirling
2πnnn
e

2π.

Exercice 1:nt´egraletuEfenu’dedinoitcno
2x
Onseproposed’e´tudierlafonctionf:x7→Zxln(1dt+t2.)
1deontiniefid´deneiamodelzenimrete´D.f.
2 que. Montrezfest impaire.
3 que. Montrezfleabrsu´dtsvireeR⋆tdete´emrnizef′. Dressez le tableau de variation def(sans
les limites).
4. Soitx∈R+⋆. Encadrezf(ximslesitdedeiute´dneeles-z)
des´eventuellesbranchesinfinies.
5 l’allure du graphe de. Donnezf.

4

fen 0+et en +∞rP.ice´lzesanature